2013年高考新课标全国Ⅰ卷(文)

第Ⅰ卷

一、选择题

1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝(　　)

A．{1,4}  B．{2,3}  C．{9,16}  D．{1,2}

答案　A

解析　∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16.

∴B＝{1,4,9,16}．

∴A∩B＝{1,4}，故选A.

2.＝(　　)

A．－1－i                  B．－1＋i

C．1＋i                      D．1－i

答案　B

解析　＝＝＝－1＋i.故选B.

3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)

A.  B.  C.  D. 

答案　B

解析　基本事件的总数为6，

构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.

所以，所求概率P＝＝，故选B.

4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x                      B．y＝±x

C．y＝±x                      D．y＝±x

答案　C

解析　由e＝＝知，a＝2k，c＝k(k∈R＋)，

由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.

所以＝.

即渐近线方程为y＝±x.故选C.

5．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q                      B．綈p∧q

C．p∧綈q                      D．綈p∧綈q

答案　B

解析　由指数函数的性质知，命题p是错误的．

而命题q是正确的．故选B.

6．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)

A．Sn＝2an－1                  B．Sn＝3an－2

C．Sn＝4－3an                  D．Sn＝3－2an

答案　D

解析　Sn＝＝＝＝3－2an.

故选D.

7. 执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)

A．[－3,4]

B．[－5,2]

C．[－4,3]

D．[－2,5]

答案　A

解析　由程序框图知：

s＝，

①当－1≤t<1时，－3≤s<3；

②当1≤t≤3时，s＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，

由①②知，s∈[－3,4]．故选A.

8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)

A．2          B．2          C．2          D．4

答案　C

解析　由y2＝4x知：焦点F(，0)，准线x＝－.

设P点坐标为(x0，y0)，

则x0＋＝4，∴x0＝3，

∴y＝4×3＝24，

∴|y0|＝2，

∴S△POF＝××2＝2.故选C.

9．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)

答案　C

解析　f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]上为奇函数，

x在原点右侧附近f(x)>0.可排除A、B.

f(x)在上是增函数，且当x＝时，

f(x)＝1.排除D.

10．已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)

A．10  B．9  C．8  D．5

答案　D

解析　由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1

＝25cos2A－1＝0.

∴cos A＝，

由a2＝b2＋c2－2bccos A得：72＝b2＋62－12b×，

解之得：b＝5，b＝－(舍去)．故选D.

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．16＋8π                  B．8＋8π

C．16＋16π                  D．8＋16π

答案　A

解析　

将三视图还原成直观图为：

上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．

所以V＝2×2×4＋×22×π×4

＝16＋8π.

故选A.

12．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]                  B．(－∞，0)

C．[－2,1]                      D．[－2,0]

答案　D

解析　

函数y＝|f(x)|的图象如图．

①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．

②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．

比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．

显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．

③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．

即a≥x－2成立，∴a≥－2.

综上所述：－2≤a≤0.故选D.

第Ⅱ卷

二、填空题

13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.

答案　2

解析　∵c＝ta＋(1－t)b，

∴c·b＝ta·b＋(1－t)·b2

＝t×1×1×cos 60°＋(1－t)×12

＝t＋1－t

＝1－t＝0.

∴t＝2.

14．设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．

答案　3

解析　

由约束条件画可行域．

z＝2x－y即y＝2x－z，

过B点时z最大．

即zmax＝2×3－3＝3.

15．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．

答案　π

解析　

如图所示，CD是截面圆的直径．

∴2·π＝π，即CD＝2，

设球O的半径为R，由AH∶HB

＝1∶2，

∴AH＝×2R＝R，

∴OH＝R－R＝R，

由OD2＝OH2＋HD2得：R2＝R2＋1，

∴R2＝

∴S球＝4πR2＝π.

16．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

答案　－

解析　由f(x)＝sin x－2cos x得f′(x)＝cos x＋2sin x，

令f′(x)＝0，即cos x＝－2sin x，

由sin2x＋cos2x＝1得：

或，

因为f(x)的最大值必然在f′(x)＝0时取得，

∴当cos x＝－时，f(x)max＝.

三、解答题

17．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

解　(1)∵S3＝0，∴3a2＝0，

∵S5＝－5，∴5a3＝5，

∴d＝－1，a1＝1.

故an＝2－n.

(2)＝

＝

Sn＝

＝

＝－

18．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5　2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4　1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解　(1) A＝(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)

＝2.3.

B＝(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)

＝1.6.

从计算结果看，A药服用者的睡眠时间增加的平均数大于服用B药的．所以A药的疗效更好．

(2)

从茎叶图看，A药的疗效更好．

19. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

 (1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

(1)证明　如图，

取AB的中点D，连接CD、A1D.

∵CA＝CB，

∴CD⊥AB，.

又∵AA1＝AB，

∴AA1＝2AD，

又∠A1AD＝60°，

∴∠ADA1＝90°，即AB⊥A1D，

∴AB⊥平面A1DC，

∴AB⊥A1C.

(2)解　∵AB＝CB＝2＝AC，

∴CD＝，

又A1A＝AB＝2，

∴A1D2＝22－12＝3，即A1D＝，

∵A1C2＝A1D2＋CD2＝6，

∴∠CDA1＝90°，即A1D⊥CD，

∴A1D⊥平面ABC，

∴VABC－A1B1C1＝×22×＝3.

20．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4

＝ex(ax＋a＋b)－2x－4

∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，

∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，

∴a＝4，b＝4.

(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)

＝2(x＋2)(2ex－1)

令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln，

列表：

∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，；

单调减区间为.

f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2.

21．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

解　(1)

设圆P的半径为r，

则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，

∴|PM|＋|PN|＝4>|MN|，

∴P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外，

且2a＝4,2c＝2，

∴a＝2，c＝1，

∴b2＝a2－c2＝3.

∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．

(2)由(1)知：2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，

∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．

圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.

①当l的方程为x＝0时，|AB|＝2，

②设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，

解之得：或.

∴l的方程为y＝x＋，y＝－x－.

联立方程化简：7x2＋8x－8＝0

∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴|AB|＝＝.

22．(选修4－1：几何证明选讲)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

(1)证明　连结DE，则∠DCB＝∠DEB，

∵DB⊥BE，

∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，

∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，

又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，

∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，

∴DB＝DC.

(2)解　由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，

∴＝，

∴∠BDE＝∠CDE，

∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝，

∴OH＝＝，∴DH＝，

∴tan∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°，

∴∠FBE＝∠BDE＝30°，

∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，

∴BC是△BCF的外接圆直径．

∴△BCF的外接圆半径为.

23．(选修4－4：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

解　(1)∵C1的参数方程为.

∴.

∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，

即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，

把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，

化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，

解方程组得或.

∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．

∴C1与C2交点的极坐标为，.

24．(选修4－5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|

＝

画出f(x)的图象，

在同一坐标系中，画出g(x)＝x＋3的图象．

∴f(x)(2)∵a>－1，则－<，

∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|

＝

当x∈时，f(x)＝a＋1，

即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．

∴a＋1≤－＋3，即a≤，

∴a的取值范围为.