高等代数补充题1

1. （三次代数方程的标准解法）设有三次方程320x ax bx c +++=。令y x t =+，寻求合适的t ，使方程变形为30y py q ++=。再令y u v =+，有

33(3)()0u v q uv p u v +++++= 如果330,30u v q uv p ++=+=同时成立，则方程解可得。循这一思路完成三次方程的解。

2. 解四次方程。

3. 已知结论：如果非零多项式(),()[]f x g x P x ∈不互素，那么存在非零多项式(),()[],()(),()()p x q x P x p x g x q x f x ∈∂<∂∂<∂使()()()()p x f x q x g x =。我们可以进一步将上式写为()()()()0f x p x g x q x -=，展开之后不难发现一个关于p (x )和q (x )系数的线性方程组，其系数矩阵由的系数f (x )和g (x )排列得到。由此，我们可以得到互素的代数判别式。

4. (Eisenstein 判别法) 设多项式011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 是整系数多项式，

0≠n a ,2≥n , p 是素数．若p 可以整除)1,,1,0(-=n i a i ，但不能整除n a ，且2p 也不能整除0a ，求证:)(x f 是有理数域上的不可约的多项式．（提示：在有理数域上可约，则一定在整数环上可约。）

5. （多项式理想）设(),()[]f x g x P x ∈不全为零多项式，令

{()()()()|(),()[]}I f x u x g x v x u x v x P x =+∈

1) I 关于加数和乘法封闭，且(),()[]s x I t x P x ∀∈∈，()()s x t x I ∈；

2) 在I 中存在次数最小的首一多项式d (x )，且()((),())d x f x g x =。

6. 设P 0与P 1是数域，且01P P ⊆。f (x ),g (x ) 是数域P 0上的多项式

1) 证明:如果在P 1中有g (x )|f (x ), 在P 0中也有g (x )|f (x )

P1上的互素多项式

3) 证明: 设f(x)是数域P0的不可约多项式, 则f(x)全是单根.

7.设f(x)为实系数多项式，且对于任意的实数c都有()0

f c>。证明：存在实系

数多项式g(x)与h(x)，使22

=+。

f x

g x

h x

()(())(())

8.Show that if m and n are positive integers, then (2m−1, 2n−1) = 2(m,n)− 1.