高中北师大版数学必修三 综合检测1

第一章　统　计

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是(　　)

A．总体　　　　　　　　　    B．个体

C．样本      D．样本容量

【解析】　每个人的寿命是个体，抽出的2 500名城镇居民的寿命的全体是从总体中抽取的一个样本．

【答案】　C

2．某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是(　　)

A．简单随机抽样法      B．系统抽样法

C．分层抽样法      D．抽签法

【解析】　抽出的号码是5,10,15，…，60.符合系统抽样的特点“等距抽样”．

【答案】　B

3．(2013·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　　)

A．9      B．10  

C．12      D．13

【解析】　依题意得＝，故n＝13.

【答案】　D

4．有一个容量为80的样本，数据的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分为(　　)

A．10组      B．9组  

C．8组      D．7组

【解析】　由题意知极差为：140－51＝.

＝8.9，故应分为9组．

【答案】　B

5．(2013·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(　　)

图1

A．588      B．480  

C．450      D．120

【解析】　不少于60分的学生的频率为

(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，

∴该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.

【答案】　B

6．下列图形中具有相关关系的两个变量是(　　)

【解析】　A、B为函数关系，D中所有点大约集中在一条直线附近，故具有相关关系．

【答案】　D

图2

7．(2012·陕西高考)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图2)，以下结论正确的是(　　)

A．直线l过点(，)

B．x和y的相关系数为直线l的斜率

C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

【答案】　A

8．(2013·福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：

(　　)

A．b>b′，a>a′      B．b>b′，aC．ba′      D．b【解析】　由(1,0)，(2,2)求b′，a′.

b′＝＝2，

a′＝0－2×1＝－2.

求，时，

iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，

＝3.5，＝，

＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

∴＝＝，

＝－×3.5＝－＝－，

∴a′.

【答案】　C

图3

9．A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计的茎叶图3所示，若A，B两人的平均成绩分别是XA，XB，则下列的结论正确的是(　　)

A．XAB．XA>XB，B比A成绩稳定

C．XAD．XA>XB，A比B成绩稳定

【解析】　由茎叶图知，A同学的5次数学成绩的平均值为XA＝(91＋92＋96＋103＋128)＝102，

XB＝(99＋108＋107＋114＋112)＝108，

∴XA【答案】　A

10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图4所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则(　　)

图4

A．me＝mo＝      B．me＝mo＜

C．me＜mo＜      D．m0＜mo＜

【解析】　30个数中第15个数是5，第16个数是6，所以中位数为＝5.5，众数为5，

＝＝.

【答案】　D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)

11．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图5)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．

图5

【解析】　由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60的学生数为3 000×0.2＝600.

【答案】　600

12．(2012·浙江高考)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．

【解析】　男生人数为560×＝160.

【答案】　160

13．为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：

【解析】　由表中信息可知，0.1＝，∴m＝0.1×60＝6，

则身高在165.5～172.5内的频数为60－6－21－6＝27.

∴a＝＝0.45.

【答案】　6　0.45

14．如图3是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有________万元．

图3

【解析】　不少于1万元的占700万元的21%，金额为700×21%＝147万元，1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占，金额为×147＝91万元，故不少于2.5万元的保险单有91万元．

【答案】　91

15．(2012·郑州高一检测)样本有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．

【解析】　由题意知， (a＋0＋1＋2＋3)＝1，所以a＝－1，

∴样本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.

【答案】　2

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)某篮球运动员在2013赛季各场比赛的得分情况如下：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.如何分析该运动员的整体水平及发挥的稳定程度？

【解】　画出茎叶图如图所示：

由茎叶图可以看出，该运动员的平均得分及中位数、众数都在20到40之间，且分布较对称，集中程度高，说明该运动员发挥比较稳定

17．(本小题满分12分)从高三学生中抽取50名学生参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频率如下(单位：分)：

[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8.

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；

(4)估计成绩在85分以下的学生比例．

【解】　(1)频率分布表如下：

(3)成绩在[60,90)分的学生比例，即学生成绩在[60,90)分的频率，0.2＋0.3＋0.24＝74%.

(4)成绩在85分以下的学生比例，即学生成绩不足85分的频率．设相应频率为b，则＝，故b＝0.72.

估计成绩在85分以下的学生约占72%.

18．(本小题满分12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

(2)求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线；

(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．

【解】　(1)数据对应的散点图如图所示：

(2)＝109，＝23.2， (xi－)2＝1 570，

(xi－)(yi－)＝308，

设所求的回归直线方程为y＝bx＋a，

则b＝≈0.196 2，

a＝－b＝23.2－109×0.196 2＝1.814 2，

故所求回归直线方程为y＝0.196 2x＋1.814 2.

(3)据(2)，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为

y＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．

19．(本小题满分13分)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，得到的频率分布表如下：

(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？

(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽多少名学生进入第二轮面试？

【解】　(1)由题意知第2组的频数为100－5－30－20－10＝35(人)(或100×0.35＝35(人))；第3组的频率为1－0.050－0.350－0.200－0.100＝0.300(或＝0.300)．

(2)第1组和第2组的频率的和为0.400，第4组和第5组的频率的和为0.300，所以这次笔试成绩的中位数落在第3组内．

(3)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6＝3(人)，第4组：×6＝2(人)，第5组：×6＝1(人)．

所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人．

20．(本小题满分13分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：

(1)求，；

(2)画出散点图；

(3)求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程．

【解】　(1)＝＝6(件)，

＝＝≈79.86(元)．

(2)散点图如下：

(3)由散点图知，y与x有线性相关关系．

设回归直线方程为y＝bx＋a.

由x＝280，

x1yi＝3 487，

＝6，＝，得

b＝＝＝4.75，

a＝－6×4.75≈51.36.

故回归直线方程为y＝4.75x＋51.36.

21．(本小题满分13分)从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4

乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7

(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；

(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；

(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．

【解】　(1)甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；

乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7.

(2)甲＝＝7，

s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，

s甲＝＝≈1.673；

乙＝＝7，

s＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，

s乙＝＝≈1.095.

(3)∵甲＝乙，s甲＞s乙，

∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参赛．