立体几何大题训练题(含答案)

一、解答题（共17题；共150分）

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4.  

（1）证明：CD⊥平面PAD；    

（2）求二面角B-PC-D的余弦值..    

2.如图，在四棱锥 中， 平面 ，在四边形 中， ， ， ， ， ， .  

（1）证明： 平面 ；    

（2）求B点到平面 的距离    

3.如图，在四棱锥 中，底面 为长方形， 底面 ， ， ， 为 的中点，F 为线段 上靠近B 点的三等分点.  

（1）求证： 平面 ；    

（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.    

4.如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .

（1）证明：平面 平面 ;    

（2）求 与平面 所成角的正弦值.    

5.如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.

（1）证明： 平面 ;    

（2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.

6.如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.

（1）证明： 平面 ;    

（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.    

7.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）  

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；    

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．    

8.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；    

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.    

9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1  ， A1D的中点

（1）证明：MN∥平面C1DE；    

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。    

10.已知三棱柱 ，底面三角形 为正三角形，侧棱 底面 ， ， 为 的中点， 为 中点.  

（1）求证：直线 平面 ；    

（2）求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值.    

11.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1  ， 平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点  

（1）证明：EF⊥BC    

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.    

12.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

13.如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

14.如图，已知多面体ABCA1B1C1  ， A1A  ， B1B  ， C1C均垂直于平面ABC  ， ∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

15.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3 ，PC ．  

（1）求证：EF//平面PDC；    

（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．    

16.如图，四棱锥 中，侧棱 垂直于底面 ， ， ， 为 的中点， 平行于 ， 平行于面 ， .  

（1）求 的长；    

（2）求二面角 的余弦值.    

17.如图，在斜三棱柱 中， 侧面 ， ， ， ， ．  

（Ⅰ）求证：平面 平面 ；

（Ⅱ）若 为 中点，求二面角 的正切值．

答案解析部分

一、解答题

1.【答案】 （1）解：连接 ，由∠ABC= ，AB=4，BC=3，    

则 ， 

又因为CD= ，AD=2 ，

所以 ，即 ，

因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，

所以 ，

因为 ，所以CD⊥平面PAD； 

（2）解：以点D为坐标原点， 的延长线为x， 为y轴，   

过点D与 平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图： 

作 交 与点G，

，即 ， 

所以 ， ，

所以 ，

所以 ， ， ， ，

则 ， ， ，

设平面 的一个法向量为 ，

则 ，即 ，

令 ，则 ， ，即 ，

设平面 的一个法向量为 ， 

则 ，即 ，

令 ，则 ， ，即 ，

由 ，

所以二面角B-PC-D的余弦值为 .

【解析】【分析】（1）连接 ，证出 ，利用线面垂直的性质定理可得 ，再利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以点D为坐标原点， 的延长线为x， 为y轴，过点D与 平行线为 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.

2.【答案】 （1）解：在平面 中， ， ， ，则 ，   

又 ， 

∴ ，即 ，又 平面 ，则 ，又 ，

∴ 平面 . 

（2）解：在平面 中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，   

因为 ， ， ，则 ,又因为 ， ,所以 .

所以 

又 ，则 ，所以 ,在 中，

.

因为 ,则 面 ,所以 

由 

可知： ， , 

所以 ，则 ，

因此P点到平面 的距离为 .

【解析】【分析】(1)在三角形 中，由勾股定理可证得 ，由 平面 ，可得 ，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；(2) 在平面 中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，因为 利用等体积转换即可求得距离.

3.【答案】 （1）证明： ， 为线段 中点， .    

平面 ， 平面 ， .

又 底面 是长方形， .又 ， 平面 .

平面 ， . 又 ， 平面 .

（2）解：由题意，以 为 轴建立空间直角坐标系，   

则 ， ， ， ， ， . 

所以 , ， ， ，

设平面 的法向量 ，则 ，即 ，

令 ，则 ， ， ，同理可求平面 的法向量 ， 

， ，

即平面 与平面 所成角的正弦值为 . 

【解析】【分析】（1）通过 ， 可证明 平面 ，进而可得 ，结合 证明线面垂直.（2）以 为 轴建立空间直角坐标系，可求出平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.

4.【答案】 （1）解：由已知可得，BF⊥PF  ， BF⊥EF  ， 又 ，

∴BF⊥平面PEF.

∴又 平面ABFD  ， 

平面PEF⊥平面ABFD.

（2）解：作PH⊥EF  ， 垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

可得 .

则   为平面ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为 ，则 .

∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .

【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作 于H,由 得到 ,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是 ,在三角形中求其正弦值.

5.【答案】 （1）∵PA=PC=AC=4   且O是AC的中点

∴PO⊥AC

∵AB=BC=2 ，AC=4,

∴ 

∴∠ABC=90°    连接BO

则OB=OC

∴PO2+BO2=PB2

PO⊥OB，PO⊥OC

OB∩OC=O

∴PO⊥平面ABC

（2）过点C作CH⊥OM交OM于点H

又∵PO⊥平面ABC

∴ 

∴CH的长度为点C到平面POM的距离

在△COM中，CM=  ，OC=2，∠OCM=45°

∴ 

∴OM= 

∴ 

【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.

6.【答案】 （1）PA=PC=AC=4   且O是AC的中点

 PO⊥AC

∵AB=BC=2 ，AC=4,

∴ 

∴∠ABC=90°    连接BO

则OB=OC

∴PO2+BO2=PB2

PO⊥OB，PO⊥OC

OB∩OC=O

∴PO⊥平面ABC

（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB

∴AB=BC=2    O是AC的中点

∴OB⊥AC    OB⊥平面PAC

如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz

则P（0,0， ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）

平面PAC法向量为 =（1,0,0）设M（x，2-x，0）

平面PAC法向量为 =（1，λ，μ），

=（0，2， ）, = （x，4-x，0）

则 即 

即 

得到 ，∴x=-4（舍）

，x= 

即M 

∴PAM的法向量 

记PC与平面PAM所成的角为θ

∴ 

即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .

【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.

7.【答案】 （1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，  

∵AB∥CD，∴AB⊥PD，

又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，  

由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，

在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，

设PA=AB=2a，则AD= ．

取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，

以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）．

 ， ， ．

设平面PBC的一个法向量为 ，

由 ，得 ，取y=1，得 ．

∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，

又PD⊥PA，PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB，则 为平面PAB的一个法向量， ．

∴cos＜ ＞= = ．

由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为 ．

【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；  

（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得 为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

8.【答案】 （1）解：由已知得， 平面 ， 平面 ，  

故 ．

又 ，所以 平面 ．

（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，

故 ， ．

以 为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则C（0，1，0），B（1，1，0）， （0，1，2），E（1，0，1）， ， ．

设平面EBC的法向量为 =（x，y，x），则

即 

所以可取 = .

设平面 的法向量为 =（x，y，z），则

即 

所以可取 =（1，1，0）．

于是 ．

所以，二面角 的正弦值为 ．

【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。（2）建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标以及对应的向量的坐标，构造出法向量n由向量垂直的数量积为零，求出法向量n，同理求出平面 的法向量m，则两个平面垂直即为两个法向量垂直，利用数量积的运算公式即可求出两个法向量所成角的余弦值，从而求出该角的正弦值即为二面角 的正弦值。

9.【答案】 （1）解：连结 .因为M  ， E分别为 的中点，所以 ，且 .又因为N为 的中点，所以 .

由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边形MNDE为平行四边形， .又 平面 ，所以MN∥平面 .

（2）解：建立空间直角坐标系，点N在底面投影为点F，

设平面 的法向量为 

由 取 得其中一个法向量 

易知平面 的一个法向量为 

所以二面角 的正弦值为 

【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件，用中点作中位线证线线平行，再利用线线相等结合平行四边形的定义证出四边形MNDE为平行四边形，再利用平行四边形的定义证出另一组线线平行，从而用线线平行结合线面平行的判定定理证出线面平行。（2）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的正弦值。

10.【答案】 （1）证明：取 中点为 ，连接 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ，    

则 ， ，

设平面 的法向量为 ，则 ，即 ,令 ，则 ，即 ，所以 ，故直线 平面 ． 

（2）解：设平面 的法向量 ，则 ．   

【解析】【分析】先利用题中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标；（1）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用两者垂直进行证明；（2）利用两个半平面的法向量的夹角进行求解.

11.【答案】 （1）连接A1E  ， 因为A1A=A1C  ， E是AC的中点，所以A1E⊥AC.  

又平面A1ACC1⊥平面ABC  ， A1E 平面A1ACC1  ， 

平面A1ACC1∩平面ABC=AC  ， 

所以，A1E⊥平面ABC  ， 则A1E⊥BC.

又因为A1F∥AB  ， ∠ABC=90°，故BC⊥A1F.

所以BC⊥平面A1EF.

因此EF⊥BC.

（2）取BC中点G  ， 连接EG  ， GF  ， 则EGFA1是平行四边形．  

由于A1E⊥平面ABC  ， 故AE1⊥EG  ， 所以平行四边形EGFA1为矩形．

由（I）得BC⊥平面EGFA1  ， 则平面A1BC⊥平面EGFA1  ， 

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1G交EF于O  ， 则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .

由于O为A1G的中点，故 ，

所以 ．

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．

方法二：

连接A1E  ， 因为A1A=A1C  ， E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC  ， A1E 平面A1ACC1  ， 

平面A1ACC1∩平面ABC=AC  ， 所以，A1E⊥平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC  ， EA1为y  ， z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.

不妨设AC=4，则

A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).

因此， ， ．

由 得 ．

【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直；

（2） 通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可.

12.【答案】 （Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．

∴DO= AC．

∴DO2+BO2=AB2=BD2 ． 

∴∠BOD=90°．

∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．

又OB⊂平面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC．

（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD  ， hE ． 则 = ．

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，

∴ = = =1．

∴点E是BD的中点．

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ．

=（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）．

设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = ．

同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）．

∴cos = = =﹣ ．

∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 ．

【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2 ． 可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．

（Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD  ， hE ． 则 = ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．

13.【答案】 （Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，

所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥ AD，

∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，

∴直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，

侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，

∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，

∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，

可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，

可得：1+ BN2=BN2  ， BN= ，MN= ，

作NQ⊥AB于Q，连接MQ，

所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ= 

= ，

二面角M﹣AB﹣D的余弦值为： = ．

【解析】【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．

（Ⅱ）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．

14.【答案】 解：（Ⅰ）由 得 ，

所以 .

故 .

由 ，   得 ，

由 得 ，

由 ，得 ，所以 ，故 .

因此 平面 .

（Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .

由 平面 得平面 平面 ，

由 得 平面 ，

所以 是 与平面 所成的角

由 得 ，

所以 ，故 .

因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .

【解析】【分析】（I）先证得AB1⊥A1B1  ， AB1⊥B1C1  ， 利用直线和平面垂直的判定可得AB1⊥平面A1B1C1；

（II）建立适当的空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，用空间向量求直线与平面的夹角即可得出线面角的大小．

15.【答案】 （1）证明：取 的中点为 ，连结 ， ，   

， 分别为 、 的中点，

，且 ，

又四边形 为平行四边形， ，且 ，

，且 ， 四边形 是平行四边形，

， 平面 ， 平面 ，

平面 ．

（2）解： 平面 ，四边形 为平行四边形，   

点 ， 分别为 ， 的中点， ， ，

． ，

，解得 ，

如图，以 为原点，在平面 内过 作 的垂线为x轴，

为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，

则 ，  ，  ， 

，  ，  ，

设平面 的一个法向量 ， 

，4， ， ，3， ，

则 ，取 ，得 ，

平面 的一个法向量 ， 

设二面角 的平面角为 ，

则 ．

二面角 的平面角的余弦值为 ．

【解析】【分析】（1）取 的中点为 ，连结 ， ，四边形 是平行四边形， ， 平面 ．（2）由余弦定理求出 ，以D为原点，在平面 内过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的平面角的余弦值．

16.【答案】 （1）解：取 的中点 ，连接 、 ，   

因为 平行于 ， 平行于 ，所以 平行于 ，

所以 四点共面， 

因为 平行于面 ，面 与面 交与 ，所以 平行于 ，

所以 为平行四边形.

所以 ， .

（2）解：取 中点F，则 垂直于 ，因为 平行于 ，所以 垂直于 ，于是以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系，   

由 垂直于 ， 垂直于 ，平面 法向量为 ，

通过计算得平面 的法向量为 .经判断知二面角为钝角，于是其余弦为 .

【解析】【分析】（1）取 的中点E，连接 、 ，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得 平行于 ， 平行于 ，于是可得 为平行四边形，所以 ， ；（2）取 中点 ，则 垂直于 ，以A点为原点， 为 轴， 为 轴， 为z轴建立坐标系，平面 法向量为 ，利用向量垂直数量积为零，列方程组求得平面 法向量为 ，平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

17.【答案】 （Ⅰ）证明： ， ， ，由余弦定理可得： ， ， ，即 ， 又 面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线 、 、 两两垂直， 则以 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， ， ， 侧面 ， 平面 的一个法向量为 ， ， ， 二面角 为钝二面角， 二面角 的正切值为 .   

【解析】【分析】（Ⅰ）根据勾股定理、线面垂直性质和线面垂直的判定定理可证得 平面 ，由面面垂直的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.