2023-2024学年辽宁省鞍山市高三第一次模拟联考数学试题+答案解析(附后)

的。1.若，则

( )

A. B.

C. 1

D. 2

2.设全集，集合

，

，则

( )

A.

B.

C.

D.

3.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于10年提出了是质数的

猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出

，不是质数.现设

，

表示数列

的前n 项和.若

，则

( )

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

4.已知平面向量与的夹角为，，则

的值为( )

A. B. 2 C. 4 D.

5.已知，则( )A.

B.

C.

D.

6.为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有种( )A. 50

B. 60

C. 80

D. 100

7.已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是( )

A. B.

C.

D. 8.函数是定义在R 上的偶函数，且

，若

，

，则

( )A. 4

B. 2

C. 1

D. 0

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图如图

：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是( )

A.

该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为

B. 该地农户家庭年收入的中位数约为万元

C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间

D. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元

10.已知函数的最小正周期为，且的图象过点

，则下列结论中正确的是( )

A. 的最大值为

B. 的图象一条对称轴为

C. 在上单调递减

D. 把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象

11.已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段，为直径的圆经过点M，则( )

A. 双曲线C的渐近线方程为

B. 以线段为直径的圆的方程为

C. 点M的横坐标为2或

D. 的面积为

12.如图所示，从一个半径为单位：的圆形纸板中切割出一

块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面舍弃阴影部

分折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是( )

A. 四棱锥的体积是

B. 四棱锥的外接球的表面积是

C. 异面直线PA与CD所成角的大小为

D. 二面角所成角的余弦值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在的展开式中，常数项是__________.

14.若函数的图象在点处的切线方程为，则实数__________.

15.若正实数a，b满足，则的最小值为______；

16

.已知椭圆C：的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分

设数列的前n项和为，且满足，

求数列的通项公式；

若，求数列的前n项和

18.本小题12分

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，延长BC至D，使

，的面积为

求AB的长；

求外接圆的面积．

19.本小题12分

甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重单位：与身高单位：是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：

身高160166172173173182

体重4450555556

根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为求y关于x的线性回归方程；

从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高单位：的数据绘制成如图的茎叶图．①估计体重超过60kg的频率P，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体

重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望用中的回归方程估测这10位男生的体重

20.本小题12分

如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，

，为等边三角形，且面底面

若M为BC中点，求证：；

求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．

21.本小题12分

已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点P的横坐标为1，且求抛物线C的方程；

过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON 于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．

22.本小题12分

已知函数

求函数的单调区间；

若对任意的都有成立，求a的取值范围.答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了复数代数形式的四则运算及共轭复数，属基础题.

【解答】

解：，

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

根据集合的基本运算即可求解．

【解答】

解：，

，

，

，

故选

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．属于基础题.利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n即可．【解答】

解：因为…，

所以，

所以是等比数列，首项为1，公比为2，所以

所以，解得

故选：

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．

根据，利用向量数量积的定义，计算求得结果．【解答】

解：，

平面向量与的夹角为，

则

，

故选

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查诱导公式，二倍角公式，属于基础题.

根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.

【解答】

解：因为，所以由，

，

故选：

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查排列与组合的综合应用，两个计数原理的运用，是较易题．

讨论甲校安排3人，2人，剩余部分分成两组，然后进行安排即可．

【解答】

解：若甲校安排3名大学生，则其余两所学校只能各安排1名大学生，则有种，

若甲校安排2名大学生，剩余3名大学生分成2组，一组1人一组2人，然后再进行安排，有

种，

共有种，

故选

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

设圆锥的底面半径为r，高为h，由圆锥的侧面积求出r，再由勾股定理求出h，由体积公式求解即可．【解答】

解：设圆锥的底面半径为r，高为h，

因为侧面展开图扇形的面积为，

所以，解得，

又圆锥的母线长为2，

所以，

则

故本题选

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、对称性的应用，属于中档题．

根据，结合是定义在R上的偶函数，易得函数的周期为2，然后由

求解．

【解答】

解：因为，且是定义在R上的偶函数，

所以，

令，则，

所以，即，所以函数的周期为2，

所以

故选：

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题主要考查频率分布直方图的应用，考查数形结合的能力，属于基础题．

对于ABC，通过求解对应的频率，即可依次判断，对于D，结合平均值的计算公式，即可求解．

【解答】

解：对于A，该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为，故A正确，

对于B，家庭年收入介于万元至万元之间的频率为，

故该地农户家庭年收入的中位数约为万元，故B正确，

对于C，家庭年收入介于万元至万元之间的频率为，故C正确，对于D，估计该地农户家庭年收入的平均值为

，故D错误．

故选：

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的图像及其性质，考查三角恒等变换，属于中档题.

由于函数可转化为，再由函数的最小正周

期，以及过定点，可将函数求出来，再根据正弦型函数的性质即可求解.

【解答】

解：因为函数，

且函数的最小正周期为，又因为，所以，

又因为函数过点，所以，

所以，由，得：，

所以函数，

故A正确；因为，的图象关于点对称，故B错误；

由，得函数在单调递减，

当时，函数在单调递减，故C正确；

将函数的图像向左平移，

得：，故D错误；

故选

11.【答案】CD

【解析】【分析】

本题考查双曲线的性质，属于基础题.

由题意知，，结合双曲线的几何意义可逐项判断.

【解答】

解：由题设知，所以C的渐近线方程为，A错误;

因为，所以以线段为直径的圆的方程为，B错误;

联立方程组，解得或，点M的横坐标为2或，C正确;

因为，所以，D正确.

故选

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查四棱锥的结构特征，考查了异面直线成角问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．

A，根据四棱锥体积公式计算判断；B，根据四棱锥的外接球表面公式计算判断；C，用平移直线法求异面直线成角判断；D，寻找二面角的平面角，用余弦定理求值判断．

【解答】

解：设正方形边长为x，则由如图1知，

又因为，所以，解得，

所以四周的四个正三角形边长也为2，

连接BD、AC交于点M，

对于A，因为平面ABCD，又平面ABCD，

所以，

因为，所以，

所以，故A错误；

对于B，因为，

所以四棱锥的外接球的半径为，

所以四棱锥的外接球的表面积为，故B正确；对于C，因为，所以异面直线PA与CD所成角等于，

又因为为正三角形，所以，故C正确；

对于D，取PB中点H连接AH，CH，则，

所以二面角的平面角为，

，故D正确．

故选13.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

求出展开式的通项公式，再令x的指数为0，进而可以求解．

【解答】

解：展开式的通项公式为，1，2，3，令，解得，

所以常数项为，

故答案为：

14.【答案】

【解析】【分析】

本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于基础题．

求出函数的导数，得到切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值．

【解答】

解：函数的导数为，

由在点处的切线方程为，

可得在点处的切线斜率为，

解得

故答案为

15.【答案】5

【解析】【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

根据，利用基本不等式，即可求出结果.

【解答】

解：正实数a，b满足，

，

当且仅当，即时，等号成立，

的最小值是

故答案为

16.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了椭圆的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

以线段为直径的圆与直线相切，可得原点到直线的距离，化简即可得出．

【解答】

解：以线段为直径的圆是，

直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

整理为，

即，即，

故答案为

17.【答案】解：由数列满足，

，

数列是公差为2的等差数列，

，

，解得，

；

，

数列的前n项和

【解析】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题．

由数列满足，可得，因此数列是公差

为2的等差数列，利用通项公式与求和公式，结合，解得，即可得出；

，利用分组求和法即可得出数列的前n项和

18.【答案】解：因为，

所以，

因为，所以，

故为正三角形，设AB长为x，则，

所以的面积，

即，解得或，

所以AB的长为1或

因为为正三角形，

所以，或，

所以，

又因为，

由余弦定理可知，

设外接圆的半径为R，因为，

可得，

所以外接圆的面积为

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，属于中档题.

因为，由余弦定理，故为正三角形，设AB长为x，的面积

，即可求解；

因为为正三角形，由余弦定理可知，设外接圆的半径为R，

因为，可得，所以外接圆的面积为

19.【答案】解：依题意可知，

，，

故y关于x的线性回归方程为

①令，得，

故这10位男生的体重有3位体重超过60kg，

估计体重超过60kg的频率；

②由题意，X的可能取值为0，1，2，

，

，

，

则X的分布列为：

X012

P

【解析】本题考查了线性回归方程以及离散型随机变量的分布列和数学期望问题，属于中档题．分别求出x，y的平均数，求出回归方程的系数，求出回归方程即可；

①计算可得这10位男生的体重有3位体重超过60kg，即可得频率；

②由题意，进而可求出分布列和数学期望．

20.【答案】解：取AD中点O，连接OM，

因为在梯形ABCD中，O，M分别为AD，BC的中点，

所以，又，所以，

因为为等边三角形，故，

又面底面ABCD，平面平面，平面ADP，

故底面ABCD，

因为平面ABCD，所以，

又因为，OP，平面POM，

所以平面POM，而平面POM，

所以；

由可知，以O为坐标原点，以向量，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

所以，

，

设为平面PAD的一个法向量，

则，即，令，则，

设为平面PBC的一个法向量，

则，即，令，则，

于是，

由图可知：平面PAD与平面PBC所成二面角是锐角，

所以平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值为

【解析】本题考查线面垂直的判定，线面垂直的性质以及利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.

先证平面POM，而平面POM，故；

建立空间直角坐标系，求出平面PAD的一个法向量，平面PBC的一个法向量，利用空间向量法即可得解.

21.【答案】解：由题意可设抛物线方程为，､，

由，可得，即解得，

抛物线方程为：

证明：设直线l：，，

由得，

则

直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得

以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为

令则

即，解得或即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，

【解析】本题考查了抛物线的标准方程，抛物线中的定点、定值、定直线问题，属于较难题.

由题意可设抛物线方程为，､，由，可得p的值，进而得出抛物线C的方程；

由题意设直线l：，，再把抛物线与直线联立消x，得

直线OM的方程为，与联立可得，同理可得，可写出圆心和半径，进而写出圆的方程，再令，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.

22.【答案】解：函数，定义域为，

则，

①当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

②当时，令，解得或舍，

当时，当时，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

对任意的，使成立，只需任意的

由知，当时，在上是增函数，

所以只需，而，所以满足题意；

当时，则在上是增函数，

所以只需，而，所以满足题意；

当时，则在上是减函数，上是增函数，

所以只需即可，

而，从而不满足题意，

综上所述，实数a的取值范围为

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式的恒成立问题，属于较难题.

对函数求导，根据a的取值范围分类讨论即可求解；

结合函数的单调性对a分情况讨论，即可求出a的取值范围.