2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A
考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 总分 |
| 得分 | |||||
| 评阅人 |
| 得分 |
1．二元函数的定义域为 。
2. 设向量，，，且，则 。
3．经过和且平行于轴的平面方程为 。
4．设，则 。
5．级数，当满足 条件时级数条件收敛。
| 得分 |
1．微分方程的通解是 （ ）
A． B．
C． D．
2．求极限 （ ）
A． B． C． D．
3．直线和平面的位置关系是 （ ）
A．直线平行于平面 B．直线在平面上
C．直线垂直于平面 D．直线与平面斜交
4．是闭区域，则 （ ）
A． B． C． D．
5．下列级数收敛的是 （ ）
A． B． C． D．
| 得分 |
1. 求微分方程满足初始条件，的特解。
2. 计算二重积分，其中。
3．设为方程确定的隐函数，求。
4.求曲线积分，其中沿，逆时针方向。
5. 计算，其中是由，及所围成的区域。
6．判断级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
7．将函数展开成的幂级数，并求其成立的区间。
| 得分 |
1．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数的和函数。
3.设函数和有连续导数，且，，为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，围成的平面区域为，已知
，
求和。
参
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1． 2．
3． 4． 5．
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1. 求微分方程满足初始条件，的特解。
解：先求的通解，得………………2分
采用常数变易法，设，得………3分
代入原方程得………………4分
得………………5分
故通解为………………6分
将初始条件，带入得，故特解为…………7分
2. 计算二重积分，其中。
解：设………………1分
则………………3分
所以………………5分
………………6分
………………7分
3. 设为方程确定的隐函数，求。
解：设………………1分
………………4分
……6分
所以
………………7分
4. 求曲线积分，其中沿，逆时针方向。
解：圆的参数方程为：……………1分
……3分
………………4分
………………6分
………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5. 计算，其中是由，及所围成的区域。
解：………………1分
………………2分
………………4分
………………5分
………………6分
………………7分
6. 判断级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
解：………………1分
………………3分
所以级数发散。………………4分
又
………………5分
………………6分
显然，交错级数，都收敛，所以原级数收敛。因此是条件收敛。………………7分
7.将函数展开成的幂级数，并求其成立的区间。
解：………………2分
而………………3分
………………4分
所以………………5分
………………6分
成立范围………………7分
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点的坐标为，点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为，………………1分
构造拉格朗日函数
………………2分
………………4分
解得………………5分
得两个驻点为
…………………6分
所以最短距离为，最短距离为………………7分
2. 求幂级数的和函数。
解：因为，所以，………………1分
………………2分
………………3分
………………4分
…………5分
所以
故……6分
当时，。………7分
另解：
当时，
当时，。
3. 设函数和有连续导数，且，，为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，围成的平面区域为，已知
，
求和。
解：由格林公式得
………………2分
即………………3分
由于区域的任意性，………………4分
又由于的任意性，有，……………5分
又由，得， ………………6分
所以………………7分
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