初中数学勾股定理复习

一、复习要求：

　　1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

　　2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。

　　3．会用勾股定理解决有关的实际问题。

二、知识网络：

三、知识梳理：

1、勾股定理

(1)重视勾股定理的三种叙述形式：

　　①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)．

　　②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积．

　　③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和．

　　从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2)定理的作用：

　　①已知直角三角形的两边，求第三边。

　　②证明三角形中的某些线段的平方关系。

　　③作长为的线段。

　　勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为，，……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。

(3)勾股定理的证明：

　　经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。

(4)勾股定理的应用：

　　勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。

2、勾股定理的逆定理

　　(1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过

　　　 构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。

　　(2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

　　(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。

　　　 运用勾股定理的逆定理的步骤：

　　　 ①首先确定最大的边(如c)

　　　 ②验证：与是否具有相等关系：

　　　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。

　　　　 当时，△ABC是锐角三角形；

　　　　 当时，△ABC是钝角三角形。

　　(4)通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，

　　　 40，4l；……以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律：

　　 　丢番图发现的：式子，，(的正整数)

　　 　毕达哥拉斯发现的：，，(的整数)

　　 　柏拉图发现的：，，(的整数)

3、注意总结直角三角形的性质与判定。

(1)直角三角形的性质：

　　角的关系：直角三角形两锐角互余。

　　边的关系：直角三角形斜边大于直角边。

　　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

　　直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

　　边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

　　双垂图中的线段关系。

(2)直角三角形的判定：

　　①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

　　②有两个角互余的三角形是直角三角形。

　　③两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。(最长的边的平方等于另外两边的平方和的三角形是直角三角形)

4、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

　　设直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，由勾股定理知道：。变形得：，，，，，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。

5、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边。

　　(1)含有30°的直角三角形的三边的比为：1：：2。(一个三角形的三个内角的比为1：2：3，则三边

　　　 的比为1：：2)

　　(2)含有45°的直角三角形的三边的比为：1：1：。

　　(3)等边三角形的边长为，则高为，面积为。

6、典型方法的总结：

　　(1)斜三角形转化为直角三角形

　　(2)图形的割、补、拼接

　　(3)面积法与代数方法证明几何问题

四、例题分析

　　1．如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△，如图乙．这时AB与相交于点O，与AB相交于点F．

　　(1)求的度数：

　　(2)求线段的长．

　　(3)若把三角板绕着点C顺时针再旋转30°得，这时点B在的内部、外部、还是边上?证明你的判断．

　　解：(1)∵ ∠2=15°，∠=90°，

　　　　　 ∴ ∠1=75°．又∵ ∠B=45°，

　　　　　 ∴ . 

　　　　(2)连结．

　　　　　 ∵ ,，

　　　　　 又∵ ，

　　　　　 ∴ 。

　　　　　 又∵ ，， 

　　　　　 ∴ ，

　　　　　 ∵ ，∴ 。

　　　　　 又∵ ， ∴ 。

　　　　　 在中，。

　　　　(3)点B在内部。

　　　　　 理由如下：设BC(或延长线)交于点，

　　　　　 ∵ ，

　　　　　 在中，

　　　　 又∵ ，即，∴ 点B在内部。

　　2．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

　　(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

　　(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

　　解：(1)猜想：AP=CQ

　　 　　　证明：在△ABP与△CBQ中，

　　 　　　　　　∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°

　　 　　　　　　∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ

　　 　　　　　　∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ

　　　　(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a

　　 　　　连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°

　　 　　　∴ △PBQ为正三角形 ∴ PQ=4a

　　 　　　于是在△PQC中，∵ 

　　 　　　∴ △PQC是直角三角形

　　3．如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图(2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．

　　(1)求在该展开图中可画出最长线段的长度?这样的线段可画几条?

　　(2)试比较立体图中∠BAC与平面展开图中的大小关系?

　　解：(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为．

　　　　　 如图(1)中的，在中

　　　　　 ∵ ，，由勾股定理得：

　　　　　 ∴ 。

　　　　　 答：这样的线段可画4条(另三条用虚线标出)．

　　　　(2)∵ 立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴ ∠BAC=45°．

　　　　　 在平面展开图中，连接线段，由勾股定理可得：，。 

　　　　　 又∵ ，

　　　　　 由勾股定理的逆定理可得为直角三角形．

　　　　　 又∵ ，

　　　　　 ∴ △为等腰直角三角形． ∴．

　　　　　 所以∠BAC与相等．

勾股定理周练习

试题部分：

(一)选择题

　　1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为( )

　　A． 　　　B．4cm　　　 C． 　　　D．3cm

　　2．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为( )

　　A．3 　　　B．6　　　 C．　　　 D．

　　3．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．己知BC=12，∠B=30°，则DE的长是( )

　　A．6 　　　B．4 　　　C．3 　　　D．2

　　4．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是( )．

　　A．6cm 　　　B．12cm　　　 C．13cm 　　　D．16cm

　　5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是( )

　　A．0 　　　B．1 　　　C．2 　　　D．3

　　6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )

　　A．CD，EF，GH 　　　　　　B．AB，EF，GH

　　C．AB，CD，GH 　　　　　　D．AB，CD，EF

(二)填空题

　　7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为，，那么的值是__________．

　　8．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm．

　　9．若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：

　　①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形

　　②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形

　　③以，，h的长为边的三条线段能组成直角三角形

　　④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形，其中所有正确结论的序号为__________．

　　10．已知直角三角形两边的长满足，则第三边长为__________。

　　11．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，，则AB的长为_______。

　　12．在直线上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则=____．

　　13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．

　　14．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是_____平方厘米．

　　15．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．

　　16．如图，已知图中每个小方格的边长均为1，则点C到直线AB的距离为_______(结果保留根号)．

(三)应用题

　　17．一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识，论证你的结论．

(四)解答题

　　18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．

　　(1)求证：AE=ED；

　　(2)若AC=2，求△CDE的周长．

　　19．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．

　　(1)求证：∠AEC=∠C

　　(2)求证：BD=2AC

　　(3)若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少?