初二数学特殊的平行四边形

中考要求

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且四边相等． 

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

4．三角形的中位线

中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．

也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．

以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中

位线，再用中位线的性质．

定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．

5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

6．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

① 边的性质：对边平行，四条边都相等．

② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

7．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．

判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

例题精讲

板块一、菱形的性质及判定

【例1】如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，

证明：与互相平分．

【解析】省略

【答案】连接、、

∵菱形中，，∴∥

∵∥，∴四边形是平行四边形，∴

∵，∴

又∵，∴四边形是平行四边形

∴与互相平分

【例2】已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．

【解析】∵  ∴

同理

∵四边形是菱形

∴，∴

∵   ∴

∵，∴是等边三角形，∴

设则

∵，∴

∵，∴，∴

∴  ∴

【答案】

【例3】已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数．

【解析】连接，∵四边形为菱形

∴

∴和为等边三角形

∴

∵  

∴

∴  

∴

∵ 

∴为等边三角形

∴

∵

∴

分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．

【答案】

【例4】如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．

【解析】省略

【答案】∵，∴

∵，∴

∵平分，∴，∴

∵，∴，∴

∵平分，，

∴，∴

又∵，

∴∥，故四边形是平行四边形

∵，∴四边形是菱形

【例5】已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．

【解析】省略

【答案】当时，四边形是菱形．

∵，

∴四边形是平行四边形

∵中，

∴

∴

∵，

∴

∴

∴四边形是菱形． 

【例6】如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知．

⑴ 顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应

的条件．

⑵ 当为      度时，四边形为正方形．

【解析】省略

【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段． 

当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）

当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）． 

⑵ ．

板块二、与菱形相关的几何综合题

【例7】已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结.

⑴求证四边形为菱形

⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？

【解析】省略

【答案】⑴∵

∴四边形为平行四边形

∵，平分

∴

∵

∴

∵

∴四边形为菱形

⑵当为中点时，

∵四边形为菱形，∴

∵  ∴  又

∴四边形为平行四边形

板块三、中位线与平行四边形

【例8】在四边形中，，，分别是、的中点，，分别是对角线，中点，证明：与互相垂直．

【解析】连接,,,．证明为菱形．

【答案】见解析

【例9】如图，四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别交的延长线于点，求证：

【解析】省略

【答案】连结，取中点，连结，由条件易得分别是的中位线，所以，且，因为，所以，所以，由可得：，同理可得，所以

【例10】如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．

【解析】延长、交于点、．

由等腰三角形三线合一可得、

再由三角形中位线可得．

【答案】见解析

【例11】如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，证明四边形为平行四边形且．

【解析】如图，连结、．

∵为的中位线

∴且 

同理且

∴且 

∴四边形为平行四边形．

在和中

，,

即

∴

∴

∴.

【答案】见解析

板块四、正方形的性质及判定

【例12】如图，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且

，则的长为          

【解析】省略

【答案】

【例13】如图，正方形中，是对角线的交点，过点作，分别交于，若，则         

【解析】省略

【答案】

【例14】如图，在正方形中，为边的中点，，分别为，边上的点，若，，，则的长为      ．

【解析】省略

【答案】

【例15】如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，则         ．

【解析】如图，连结．

【解析】

【例16】如图，在正方形中，点为正方形内的两点，且，则               

【解析】连结，则又，得

【答案】

【例17】如图，过正方形顶点引，且．若与的延长线的交点为，求证．

【解析】省略

【答案】设正方形的边长为，如图所示．引于，则为等腰直角三角形．

所以，在直角中，

．

由于，，所以

．

从而，在中，

，

．

【例18】已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于．

（1）求证：；

（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．

A

B

C

D

E

G

【解析】省略

【答案】⑴∵四边形是正方形，

∴，．

∵，

∴．

又∵，

∴．                  　   

⑵∵绕顺时针旋转得到， 

∴．

∵，

∴．

∵四边形是正方形，

∴，．

∴，

即．

∴四边形是平行四边形．

【例19】如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数

【解析】省略

【答案】，延长至，使，证明，测得

【例20】如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长．

【解析】省略

【答案】当且仅当为直角三角形时，的中线．

由已知证明为直角三角形并不困难．

因为为正方形，所以．由于，所以．

又，

所以．

从而．

因为，所以（即），

．

故为直角三角形，且为斜边的中线，从而

正方形的边长．

【例21】如图，点是矩形边的中点，，点是边上一动点，，，垂足分别为、，求点运动到什么位置时，四边形为正方形．

【解析】省略

【答案】当运动到中点时，四边形为正方形

∵是等腰直角三角形

∴

又∵

∴

同理可得：

∴

∴

∴四边形为矩形

在和中，    

∴

∴

∴四边形为正方形．

【例22】已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．

⑴ 求证：四边形为矩形；

⑵ 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．

【解析】省略

【答案】⑴ 证明：在中，， 

∴ 

∵是外角的平分线

∴

∴

又∵，

∴

∴四边形为矩形．     

⑵ 例如，当时，四边形是正方形

证明：∵，于

∴ 

又，

由⑴四边形为矩形

∴矩形是正方形．