广东省广州市华南师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

高一数学

第Ⅰ卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求．

1．若集合，，则（    ）．

A．            B．            C．            D．

2．“”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件

C．充要条件                                D．既不充分也不必要条件

3．已知角的终边过点，则等于（    ）．

A．2                B．                C．                D．

4．函数的部分图象大致是（    ）．

A．B．C．D．

5．以下四组数中大小比较正确的是（    ）．

A．                        B．

C．                            D．

6．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

A．            D．            C．            D．

7．若，则的最小值为（    ）．

A．4                B．3                C．2                D．1

8．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）．

A．                    B．

C．                    D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．

9．已知，则下列不等式正确的是（    ）．

A．            B．            C．            D．

10．下列结论正确的是（    ）．

A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数

B．函数定义域为

C．若函数的值域为R，则a的取值范围为

D．函数定义域为，则定义域为

11．设函数（，是常数，，，若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（    ）．

A．函数的周期为

B．函数的单调递减区间为

C．函数的对称轴为 

D．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到

12．设函数的定义城为R．若存在常数，使对一切实数x均成立，则称为“倍约束函数”．下列函数是“倍约束函数”的有（    ）．

A．

B．

C．

D．是定义在R上的奇函数，且对均有

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．

13．已知函数，则______．

14．命题“，”的否定是______．

15．已知扇形的周长是2022cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是______．

16．对，不等式恒成立，则m的取值范围是______；若在上有解，则m的取值范围是______．

四、解答题：本大题共6小题，满分52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的值．

18．已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．已知函数．

（1）求函数的周期及单调递增区间；

（2）求函数在区间上的值域．

20．已知函数，且的解集为．

（1）求函数的解析式；

（2）设，若对于任意的，都有，求M的最小值．

21．如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地．现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值．

22．已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；

（1）①的一条对称轴且；

②的一个对称中心且在，且在上单调递减；

③向左平移个单位得到的图象关于y轴对称且．

从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，并求函数f（x） 的解析式；

（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数a的取值范围．

华南师大附中2021-2022学年度第一学期期末考试

高一数学参

一、单选题

因为，所以，

，

当且仅当时，即时取等．

所以的最小值为1．故选D．

8．【详解】

因为，所以．由，得．

当时，，又，则．

因为在上的零点为，，，，

且在内恰有3个零点，所以或，

解得．故选D．

二、多选题

由在区间上具有单调性知，

的周期T满足，所以，

又因为，所以，在同一个周期内且，

故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，

且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，

所以，得，即，A正确．

又因为的一个对称中心为，所以，，

由知，，故．

，解得，，B正确；

，，，C错误；

的图象向左平移个单位得

，D正确．

故选ABD．

12．【解析】对于A，，由，只要常数即可，A正确；

对于B，恒成立，不存在这样的常数M，使得不等式恒成立，B错误；

对于C，当时，，，不存在这样的M，故C不正确；

对于D，由函数是定义在R上的奇函数，得，

当，时，可得成立，所以该函数是“倍约束函数”．故D正确．

故选AD．

三、填空题

13．1            14．“，”            15．2

16．；

解：（1）关于x的不等式函数对于任意实数x恒成立，

则，解得m的取值范围是．

（2）若在上有解，

则在上有解，易知当时，

当时，此时记，

则，，在上单调递减，故，

综上可知，，故m的取值范围是．

四、解答题

17．解：（I）若，则，，

所以．

（2）因为“”是“”的充分不必要条件，

所以，

①当时，即时，不满足互异性，不符合题意；

②当时，即或时，由①可知，时，不符合题意，

当时，集合，满足，故可知符合题意．所以．

18．解：（1）因为为锐角，

所以，，

．

（2）因为，为锐角，所以，，

所以，

所以

．

19．解：．

（1）当，

即，时，函数单调递增，

故函数的单调递增区间为．

（2）∵，∴，

∴，∴，即函数的值域为．

20．解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，

所以，，即，，所以．

（2）因为时，

根据二次函数的图像性质，有，

则有，所以，

因为对于任意的，都有，

即求，转化为，

而，，所以此时可得，所以M的最小值为．

21．解：如图，连接AP，

设，延长RP交AB于M，

则，，∴，

．

∴矩形PQCR的面积为

设，则，

∴，

∴当时，．

故长方形停车场PQCR面积的最大值是．

22．解：（1）由题意可知，函数的最小正周期为，

∴．

选①，因为函数的一条对称轴，

则，解得，

∵，所以，的可能取值为、．

若，则，则，不合乎题意；

若，则，则，合乎题意．

所以，．

选②，因为函数的一个对称中心，

则，解得，

∵，所以，的可能取值为、．

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；

所以，．

选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于y轴对称，

所得函数为，

由于函数的图象关于y轴对称，

可得，解得，

∵，所以，的可能取值为、．

若，则，，不合乎题意；

若，则，，合乎题意．所以，．

（2）由（1）可知，

所以，

，

当时，，∴，

所以，

所以，，

∴，∵，∴，则，

由可得，

所以，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，．