一．选择题（共30小题）
1．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（ ）
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 6 |
2．己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | D． |
3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，已知四边形的周长为32，那么四边形ABCD的面积为（ ）
| A． | 16+24 | B． | 16 | C． | 24 | D． | 32+24 |
4．直角三角形的斜边长是20cm，两直角边长的比是3：4，则两直角边的长分别是（ ）
| A． | 6cm，8cm | B． | 3cm，4cm | C． | 12cm，16cm | D． | 24cm，32cm |
5．在△ABC中，∠A是钝角，AB=6，AC=8，则BC的长可能是（ ）
| A． | 9 | B． | 10 | C． | 11 | D． | 14 |
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，且CD=1，则△ABD的面积为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
7．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC是（ ）
| A． | 直角三角形 | B． | 等腰三角形 | |
| C． | 等腰直角三角形 | D． | 等腰三角形或直角三角形 |
8．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a=6，b=8，c=10；②a=3，b=4，c=6；③∠A=32°，∠B=58°；
④a=7，b=24，c=25；⑤a：b：c=5：12：13；⑥a=1 b=2 c=．
| A． | 3个 | B． | 4个 | C． | 5个 | D． | 6个 |
9．△ABC的三边为a，b，c，在下列条件下△ABC不是直角三角形的是（ ）
| A． | a2=b2﹣c2 | B． | a2：b2：c2=1：2：3 | C． | ∠A=∠B﹣∠C | D． | ∠A：∠B：∠C=3：4：5 |
10．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）=c2，则（ ）
| A． | a边的对角是直角 | B． | b边的对角是直角 | |
| C． | c边的对角是直角 | D． | △ABC不是直角三角形 |
11．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，则四边形ABCD的面积为（ ）
| A． | 72 | B． | 36 | C． | 66 | D． | 42 |
12．一个三角形的三边分别是m2+1、2m、m2﹣1，则此三角形是（ ）
| A． | 锐角三角形． | B． | 直角三角形． | C． | 钝角三角形． | D． | 等腰三角形． |
13．下面几组数：①7、8、9；②12、9、15；③a2、a2+1、a2+2；④m2+n2、m2﹣n2、2mn（m、n均为正整数，m＞n）．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ②④ | D． | ②③ |
14．如图，在7×4的网格上有一个△ABC（A、B、C分别在小正方形的顶点上）．若每个小正方形的边长都为1，则△ABC是（ ）
| A． | 锐角三角形 | B． | 钝角三角形 | C． | 直角三角形 | D． | 等腰三角形 |
15．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
16．等腰直角三角形的三边之比为（ ）
| A． | 1：1：2 | B． | C． | D． |
17．直线a∥b，等腰直角三角形ABC直角顶点C在直线b上，若∠1=20°，则∠2=（ ）
| A． | 25° | B． | 30° | C． | 20° | D． | 35° |
18．如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD=BC=AC=1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE+PF的值是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
19．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，CA，则∠ACB的度数为（ ）
| A． | 30° | B． | 45° | C． | 60° | D． | 75° |
20．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（ ）
| A． | 182 | B． | 183 | C． | 184 | D． | 185 |
21．直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长为（ ）
| A． | 120 | B． | 121 | C． | 132 | D． | 123 |
22．锐角三角形的三边长分别是2、3、x，则x的取值范围是（ ）
| A． | ＜x＜ | B． | ＜x＜5 | C． | 1＜x＜ | D． | 1＜x＜5 |
23．已知a，b，c是△ABC的三边长，如果（c﹣5）2+|b﹣12|+=0，则△ABC是（ ）
| A． | 以a为斜边的直角三角形 | B． | 以b为斜边的直角三角形 | |
| C． | 以c为斜边的直角三角形 | D． | 不是直角三角形 |
24．下列各组线段中，（1）m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）（2）9，12，15（3）32，42，52（4）7，24，25（5），1，，可以构成直角三角形的有（ ）组．
| A． | 5 | B． | 4 | C． | 3 | D． | 2 |
25．△ABC中，∠C=90°，a+c=32，a：c=3：5，则△ABC的周长为（ ）
| A． | 30 | B． | 40 | C． | 48 | D． | 50 |
26．已知△ABC 的三个内角之比∠A：∠B：∠C=1：2：1，则三边之比AB：BC：CA是（ ）
| A． | 1：1： | B． | l：：1 | C． | 1：l：2 | D． | l：4：l |
27．如果一个等腰直角三角形的面积为2，则斜边长为（ ）
| A． | 2 | B． | 4 | C． | D． |
28．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则S△ABC等于（ ）
| A． | 3 | B． | 2 | C． | 2 | D． | 3 |
29．如图：数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ）
| A． | ﹣13 | B． | ﹣﹣13 | C． | 2 | D． | ﹣2 |
30．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（ ）
| A． | B． | 1 | C． | D． | 2 |
勾股定理专题训练试题精选（三）
参与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（ ）
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 6 |
| 考点： | 勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 规律型． |
| 分析： | OA1=1，OA2==，OA3==，找到OAn=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数． |
| 解答： | 解：找到OAn=的规律， 所以OA1到OA25的值分别为，，……， 故正整数为=1，=2，=3，=4，=5． 故选 C． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn=的规律是解题的关键． |
2．己知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，其中∠H、∠E、∠F是直角，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | D． |
| 考点： | 勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 在直角△ABC中，∠C=90°，AB2=AC2+BC2，即可求证：阴影部分面积△ACH和△BCF的面积之和为△ABE的面积，即阴影部分面积为2倍的△ABE的面积，根据此等量关系即可求解． |
| 解答： | 解：在直角△ABC中，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2， 根据等腰直角三角形面积计算方法，△AEB的面积为×AB•AB=， △AHC的面积为×AC•AC=， △BCF的面积为×BC•BC=， ∴阴影部分面积为（AB2+AC2+BC2）=AB2， ∵AB=3， ∴阴影部分面积为×32=． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等腰直角三角形面积的计算，本题中求△AEB的面积、△AHC的面积、△BCF的面积并用AB表示是解题的关键． |
3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，已知四边形的周长为32，那么四边形ABCD的面积为（ ）
| A． | 16+24 | B． | 16 | C． | 24 | D． | 32+24 |
| 考点： | 勾股定理；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 连接BD，则△ABD为等边三角形，△BCD为直角三角形，根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和． |
| 解答： | 解：连接BD， ∵AB=AD=8， ∴△ABD为正三角形，其面积为××AB×AD=16， ∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2， 解得BC=10，CD=6， ∴直角△BCD的面积=×6×8=24， 故四边形ABCD的面积为24+16． 故选 A． |
| 点评： | 本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，本题中求证△ABD是正三角形是解题的关键． |
4．直角三角形的斜边长是20cm，两直角边长的比是3：4，则两直角边的长分别是（ ）
| A． | 6cm，8cm | B． | 3cm，4cm | C． | 12cm，16cm | D． | 24cm，32cm |
| 考点： | 勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可． |
| 解答： | 解：∵两直角边长的比是3：4， ∴设两直角边的长为3x、4x， 由勾股定理得到：（3x）2+（4x）2=202， 解得：x=4， ∴两直角边的长为12cm和16cm． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的设出未知数并利用勾股定理列出方程． |
5．在△ABC中，∠A是钝角，AB=6，AC=8，则BC的长可能是（ ）
| A． | 9 | B． | 10 | C． | 11 | D． | 14 |
| 考点： | 勾股定理；三角形三边关系．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据三角形三边关系，第三边小于AB+AC，且BC的长度大于当∠A是直角时BC的长度，根据勾股定理即可计算∠A为直角时BC的长度． |
| 解答： | 解：根据三角形三边关系，第三边小于AB+AC=14， 当∠A为直角时，AB，AC分别是两直角边， 则第三边即斜边的长度为BC==10， 故10＜BC＜14， 只有C选项符合题意， 故选 C． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形三边关系，本题中正确的根据勾股定理计算当∠A为直角时BC的长是解题的关键． |
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，且CD=1，则△ABD的面积为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 勾股定理；角平分线的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 过点D作DE⊥AB，垂足为E，设AC的边长为a，利用勾股定理和各三角形的面积关系列方程，求出a，然后即可求得AB的长，再利用三角形面积公式即可求得答案． |
| 解答： | 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， 设AC的边长为a，则AB===a， ∵S△ADB=S△ACB﹣S△ACD， 即AB×DE=a×a﹣a×1， 又∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD=DE=1， ∴AB=a2﹣a， ∴a2﹣a=a， 解得，a=2+1， ∴AB=a=（2+1）×=4+2， ∴S△ADB=AB×DE=×4+2×1=． 故选C． |
| 点评： | 此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理和各三角形的面积关系列方程，求出a．此题有一定的拔高难度，属于中档题． |
7．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC是（ ）
| A． | 直角三角形 | B． | 等腰三角形 | |
| C． | 等腰直角三角形 | D． | 等腰三角形或直角三角形 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理；等腰三角形的判定．菁优网版权所有 |
| 分析： | 了解等腰三角形和直角三角形判定标准，是解题的关键． |
| 解答： | 解：∵（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）=0，∴（a﹣b）=0或（a2+b2﹣c2）=0， 即a=b或a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 故选D． |
| 点评： | 本题利用了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理求解． |
8．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a=6，b=8，c=10；②a=3，b=4，c=6；③∠A=32°，∠B=58°；
④a=7，b=24，c=25；⑤a：b：c=5：12：13；⑥a=1 b=2 c=．
| A． | 3个 | B． | 4个 | C． | 5个 | D． | 6个 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．菁优网版权所有 |
| 分析： | ①②④⑤⑥利用勾股定理的逆定理解答即可；③利用三角形的内角和是180°，求出∠C的度数即可． |
| 解答： | 解：①∵a2+b2=62+82=100，c2=102=100，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形； ②∵a2+b2=32+42=25，c2=62=36，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形； ③∵∠A=32°，∠B=58°，∴∠C=180°﹣32°﹣58°=90°，∴△ABC为直角三角形； ④∵a2+b2=72+242=625，c2=252=625，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形； ⑤∵a：b：c=5：12：13，∴设a=5x，则b=12x，c=13x， ∴（5x）2+（12x）2=169x2，c2=（13x）2，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形； ⑥∵a=1 b=2 c=，a2+c2=12+（）2=4，b2=22=4，∴a2+c2=b2，∴△ABC为直角三角形． 故选C． |
| 点评： | 本题比较简单，考查的是勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，属较简单题目． |
9．△ABC的三边为a，b，c，在下列条件下△ABC不是直角三角形的是（ ）
| A． | a2=b2﹣c2 | B． | a2：b2：c2=1：2：3 | C． | ∠A=∠B﹣∠C | D． | ∠A：∠B：∠C=3：4：5 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 探究型． |
| 分析： | 利用勾股定理的逆定理判断A、B选项，用直角三角形各角之间的关系判断C、D选项． |
| 解答： | 解：A、∵a2=b2﹣c2，∴a2+c2=b2，故本选项正确； B、∵a2：b2：c2=1：2：3，∴令a2=x，则b2=2x，c2=3x， ∵x+2x=3x，∴a2+b2=c2，故本选项正确； C、∵∠A=∠B﹣∠C，∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，即∠A+∠C=90°，故本选项正确； D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°，即3x+4x+5x=180°，解得，x=15°， ∴5x=5×15°=75°＜90°，故本选项错误． 故选D． |
| 点评： | 本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断． |
10．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）=c2，则（ ）
| A． | a边的对角是直角 | B． | b边的对角是直角 | |
| C． | c边的对角是直角 | D． | △ABC不是直角三角形 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理．菁优网版权所有 |
| 分析： | 把式子写成a2﹣b2=c2的形式，确定a为最长边，则可判断边a的对角是直角． |
| 解答： | 解：∵（a+b）（a﹣b）=c2， ∴a2﹣b2=c2， ∴a为最长边， ∴边a的对角是直角． 故选A． |
| 点评： | 此题考查勾股定理逆定理的应用，判断最长边是关键． |
11．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，则四边形ABCD的面积为（ ）
| A． | 72 | B． | 36 | C． | 66 | D． | 42 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 探究型． |
| 分析： | 先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． |
| 解答： | 解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴AC===5， 在△ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD， =×3×4+×5×12， =36． 故选B． |
| 点评： | 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键． |
12．一个三角形的三边分别是m2+1、2m、m2﹣1，则此三角形是（ ）
| A． | 锐角三角形． | B． | 直角三角形． | C． | 钝角三角形． | D． | 等腰三角形． |
| 考点： | 勾股定理的逆定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 探究型． |
| 分析： | 根据勾股定理的逆定理进行解答即可． |
| 解答： | 解：∵（2m）2+（m2﹣1）2=4m2+m4+1﹣2m2=m4+1+2m2=（m2+1）2． ∴此三角形是直角三角形． 故选B． |
| 点评： | 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． |
13．下面几组数：①7、8、9；②12、9、15；③a2、a2+1、a2+2；④m2+n2、m2﹣n2、2mn（m、n均为正整数，m＞n）．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ②④ | D． | ②③ |
| 考点： | 勾股定理的逆定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；分类讨论． |
| 分析： | 判短一组数能否成为直角三角形的三边长，就是看是不是满足两较小的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一做出判断即可． |
| 解答： | 解：①∵72+82=49+=113≠92， ∴不能成为直角三角形的三边长； ②∵92+122=81+144=225=152， ∴能成为直角三角形的三边长； ③∵（a2）2+（a2+1）2 =2a4+2a2+1m2n2 ≠（a2+2）2 ∴不能成为直角三角形的三边长； ④∵（m2﹣n2）2+（2mn）2 =m4﹣2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =（m2+n2）2 ∴能成为直角三角形的三边长． ∴②④正确，故选C． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时应该是两较短边的平方和等于最长边的平方． |
14．如图，在7×4的网格上有一个△ABC（A、B、C分别在小正方形的顶点上）．若每个小正方形的边长都为1，则△ABC是（ ）
| A． | 锐角三角形 | B． | 钝角三角形 | C． | 直角三角形 | D． | 等腰三角形 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理；勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 网格型． |
| 分析： | 首先根据勾股定理求得△ABC的三边的平方，再进一步根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形． |
| 解答： | 解：根据勾股定理，得 AB2=1+4=5，AC2=49+1=50，BC2=36+9=45， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形． 故选C． |
| 点评： | 此题综合考查了勾股定理及其逆定理． |
15．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理；勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 网格型． |
| 分析： | 根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． |
| 解答： | 解：根据勾股定理，得 AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25， 根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD． 故选B． |
| 点评： | 此题综合考查了勾股定理及其逆定理． |
16．等腰直角三角形的三边之比为（ ）
| A． | 1：1：2 | B． | C． | D． |
| 考点： | 等腰直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先设等腰直角三角形的一个直角边长为：a，根据勾股定理计算出其斜边的长，然后三边相比即可． |
| 解答： | 解：设等腰直角三角形的一个直角边长为：a 则，另一边长也为：a，其斜边长为：=a， 所以等腰直角三角形的三边之比为：a：a：a=1：1：． 故选B． |
| 点评： | 本题考查学生对等腰直角三角形和勾股定理的理解和掌握，解得此题的关键是利用勾股定理求出其斜边的长，此题难度不大，是一道基础题． |
17．直线a∥b，等腰直角三角形ABC直角顶点C在直线b上，若∠1=20°，则∠2=（ ）
| A． | 25° | B． | 30° | C． | 20° | D． | 35° |
| 考点： | 等腰直角三角形；平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 作BD∥a，根据平行线的性质得∠1=∠3，由于a∥b，则BD∥b，所以∠2=∠DBC=，再根据等腰直角三角形的性质得到答案． |
| 解答： | 解：作BD∥a，如图， ∴∠1=∠α， ∵a∥b， ∴BD∥b， ∴∠1=∠3=20°， ∵△CAB为等腰直角三角形， ∴∠3+∠DBC=45°， ∴∠2=45°﹣20°=25°， ∴∠2=25°． 故选A． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质，以及等腰三角形的性质的应用，学会平行线的判定方法和辅助线的作法是解题的关键． |
18．如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD=BC=AC=1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE+PF的值是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 等腰直角三角形；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 据已知，过C作CH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质求得CH的长度，计算△BDC的面积，再利用转化为△BPD与△BPC的面积和即可求的PE+PF的值． |
| 解答： | 解：如图所示，过C作CH⊥AB于H，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD=BC=AC=1， ∴CH=， ∴=， 又∵BC•PF=， ∴PE+PF=． 故答案选A． |
| 点评： | 此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形PGDF，再证△BPE≌△PBG． |
19．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，CA，则∠ACB的度数为（ ）
| A． | 30° | B． | 45° | C． | 60° | D． | 75° |
| 考点： | 等腰直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有 |
| 分析： | 分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数． |
| 解答： | 解：根据勾股定理可以得到：AC=AB=，BC=， ∵，即AC2+AB2=BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ACB=45°． 故选B． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理． |
20．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（ ）
| A． | 182 | B． | 183 | C． | 184 | D． | 185 |
| 考点： | 勾股定理．菁优网版权所有 |
| 分析： | 设出另一直角边和斜边，根据勾股定理列出方程，再根据边长都是自然数这一特点，写出二元一次方程组，求解即可． |
| 解答： | 解：设另一直角边长为x，斜边为y，根据勾股定理可得 x2+132=y2，即（y+x）（y﹣x）=169×1 因为x、y都是连续自然数， 可得， ∴周长为13+84+85=182； 故选A． |
| 点评： | 本题综合考查了勾股定理与二元一次方程组，解这类题的关键是利用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． |
21．直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长为（ ）
| A． | 120 | B． | 121 | C． | 132 | D． | 123 |
| 考点： | 勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 设另一条直角边为x，斜边为y，由勾股定理得出y2﹣x2=112，推出（y+x）（y﹣x）=121，根据121=11×11=121×1，推出x+y=121，y﹣x=1，求出x、y的值，即可求出答案． |
| 解答： | 解：设另一条直角边为x，斜边为y， ∵由勾股定理得：y2﹣x2=112， ∴（y+x）（y﹣x）=121=11×11=121×1， ∵x、y为整数，y＞x， ∴x+y＞y﹣x， 即只能x+y=121，y﹣x=1， 解得：x=60，y=61， ∴三角形的周长是11+60+61=132， 故选C． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理的应用，关键是得出x+y=121和y﹣x=1，题目比较好，但有一定的难度． |
22．锐角三角形的三边长分别是2、3、x，则x的取值范围是（ ）
| A． | ＜x＜ | B． | ＜x＜5 | C． | 1＜x＜ | D． | 1＜x＜5 |
| 考点： | 勾股定理；三角形三边关系．菁优网版权所有 |
| 分析： | 分两种情况来做，当x为最大边时，只要保证x所对的角为锐角就可以了；当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了． |
| 解答： | 解：分两种情况来做，当x为最大边时，由余弦定理可知只要22+32﹣x2＞0即可，解得3＜x＜； 当x不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22+x2﹣32＞0，解得＜x≤3 综上可知，x的取值范围为＜x＜． 故选：A． |
| 点评： | 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有余弦定理，三角形的边角关系，以及一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的数学思想． |
23．已知a，b，c是△ABC的三边长，如果（c﹣5）2+|b﹣12|+=0，则△ABC是（ ）
| A． | 以a为斜边的直角三角形 | B． | 以b为斜边的直角三角形 | |
| C． | 以c为斜边的直角三角形 | D． | 不是直角三角形 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用非负数的性质分别求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判定即可． |
| 解答： | 解：∵a2﹣26a+169=（a﹣13）2， ∴（c﹣5）2+|b﹣12|+=（c﹣5）2+|b﹣12|+=（c﹣5）2+|b﹣12|+|a﹣13|， ∴a=13，b=12，c=5， ∵52+122=25+144=169=132， ∴以a、b、c三边的三角形是以a为斜边的直角三角形， 故选A． |
| 点评： | 本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质得出a、b、c的值是解题的关键． |
24．下列各组线段中，（1）m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）（2）9，12，15（3）32，42，52（4）7，24，25（5），1，，可以构成直角三角形的有（ ）组．
| A． | 5 | B． | 4 | C． | 3 | D． | 2 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用勾股定理的逆定理分别计算每组数是否满足两边平方和等于第三边的平方即可． |
| 解答： | 解：（1）∵（m2﹣n2）2+（2mn）=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2， ∴m2﹣n2，2mn，m2+n2可构成直角三角形； （2）∵92+122=81+144=225=152， ∴9，12，15可以构成直角三角形； （3）32=9，42=16，52=25， ∵92+162=81+256=337≠625=252， ∴32，42，52不能构成直角三角形； （4）∵72+242=49+576=625=252， ∴7，24，25可以构成直角三角形； （5）∵（）2+12==（）2， ∴，1，可以构成直角三角形， 所以可以构成直角三角形的有（1）、（2）、（4）、（5）共四组， 故选B． |
| 点评： | 本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可． |
25．△ABC中，∠C=90°，a+c=32，a：c=3：5，则△ABC的周长为（ ）
| A． | 30 | B． | 40 | C． | 48 | D． | 50 |
| 考点： | 勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据a+c=32和a：c=3：5可以准确计算a、c的长度，根据a、c的长度计算b的长度，即可求得a+b+c． |
| 解答： | 解：△ABC中，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形，即c2=b2+a2， ∵， ∴a=12，c=20， ∵c2=b2+a2， ∴b=16． ∴a+b+c=12+16=20=48． 故选 C． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据a、c的两个等量关系式计算a、c的长度是解题的关键． |
26．已知△ABC 的三个内角之比∠A：∠B：∠C=1：2：1，则三边之比AB：BC：CA是（ ）
| A． | 1：1： | B． | l：：1 | C． | 1：l：2 | D． | l：4：l |
| 考点： | 等腰直角三角形；三角形内角和定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 利用已知条件和三角形内角和定理求得∠A=∠C=45°，∠B=90°；然后根据等腰直角三角形的性质来计算三边之比AB：BC：CA． |
| 解答： | 解：∵在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：1（已知）， ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）， ∴∠A=∠C=45°，∠B=90°， ∴AC=AB，AB=AC， ∴AB：BC：CA=1：1：． 故选A． |
| 点评： | 本题考查了等腰直角三角形、三角形内角和定理．解答该题的关键是挖掘出隐含在题干中的已知条件：三角形的内角和的180°． |
27．如果一个等腰直角三角形的面积为2，则斜边长为（ ）
| A． | 2 | B． | 4 | C． | D． |
| 考点： | 等腰直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先设等腰直角三角形一个直角边为x，利用等腰直角三角形的面积为2，求出等腰直角三角形一个直角边，再用勾股定理即可求出其斜边的长． |
| 解答： | 解：设等腰直角三角形一个直角边为x， 则x×x×=2，解得x=2， 由勾股定理得斜边长为2． 故选C． |
| 点评： | 此题考查学生对等腰直角三角形和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是先求出等腰直角三角形一个直角边的长，这是此题的突破点，难度不大，是一道基础题． |
28．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则S△ABC等于（ ）
| A． | 3 | B． | 2 | C． | 2 | D． | 3 |
| 考点： | 勾股定理；三角形的面积．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据题意可知△ABC为等腰三角形，根据三角形面积计算公式S=底×高计算三角形面积． |
| 解答： | 解：AB=AC=3，BC=2，作AD⊥BC，则AD为BC边上的高， ∵AB=AC， ∴D为BC边上的中点． ∴AD==， ∴S△ABC=×BC×AD=． 故选 C． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理的运用，考查了等腰三角形的高线即中线的性质，解本题的关键是掌握等腰三角形底边的高线，中线，角平分线三线合一的性质． |
29．如图：数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ）
| A． | ﹣13 | B． | ﹣﹣13 | C． | 2 | D． | ﹣2 |
| 考点： | 勾股定理；立方根；实数与数轴．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据读图可以计算出A点的横坐标，即x的值，即可计算x2﹣13的值，再计算其立方根即可． |
| 解答： | 解：根据读图可以看出A点的横坐标x的值为， 则x2﹣13=5﹣13=﹣8， （﹣2）3=﹣8， 故答案为﹣2， 故选 D． |
| 点评： | 本题考查了勾股定理的运算，考查了立方根的计算方法，考查了数轴上的运算，本题中正确的计算x的值是解题的关键． |
30．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（ ）
| A． | B． | 1 | C． | D． | 2 |
| 考点： | 勾股定理；完全平方公式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据已知可得到两直角边的和，根据完全平方公式即可求得两直角边的乘积，从而不难求得其面积． |
| 解答： | 解：设两直角边分别为：a，b，斜边为c， ∵直角三角形的斜边为2，周长为， ∴a+b=， ∵（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=4+2ab=6， ∴ab=1， ∵三角形有面积=ab=， 故选A． |
| 点评： | 此题主要考查学生对勾股定理及完全平方和公式的运用． |
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