2021年全国高考理科数学试题分类汇编：圆锥曲线

一、选择题

1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线与曲线相交于两点, 为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的斜率等于 （　　）

A．     B．    C．    D．

【答案】B    

2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））双曲线的顶点到其渐近线的距离等于    （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】C 

3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】B 

4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】C 

5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知,则双曲线与的 （　　）

A．实轴长相等    B．虚轴长相等    C．焦距相等    D．离心率相等

【答案】D  

A．    B．    C．    D．

【答案】B  

7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是

    （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】D 

8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = （　　）

A．1    B．    C．2    D．3

【答案】C  

9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】B 

10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则 （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】D 

11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 （　　）

A．    B．=    C．    D．

【答案】B  

12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】D 

13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】D 

14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为 （　　）

C．或    D．或  

【答案】C   

15．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是 （　　）

A．圆    B．椭圆    C．抛物线    D．双曲线

【答案】C 

16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为 （　　）

A．    B．    C．    D． 

【答案】A 

二、填空题

17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）双曲线的两条渐近线的方程为_____________.

【答案】  

18．（2013年高考江西卷（理））抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则_____________

【答案】6 

19．（2013年高考湖南卷（理））设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为___.

【答案】    

20．（2013年高考上海卷（理））设AB是椭圆的长轴,点C在上,且,若AB=4,,则的两个焦点之间的距离为________

【答案】. 

21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为___ _____.

【答案】      

22．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部与边界).若点是区域内的任意一点,则的取值范围是__________.

【答案】 

23．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_______.

24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建）椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于__________

【答案】    

25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线的离心率为, 则m等于___9_____.

【答案】9   

26．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则的离心率______.

【答案】      

27．（2013年上海市春季高考数学）抛物线的准线方程是_______________

【答案】      

28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为_______.

【答案】或    

29．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于________.

【答案】   

三、解答题

30．（2013年上海市春季高考数学）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.

已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为

(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;

(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.

【答案】[解](1)设椭圆的方程为. 

根据题意知, 解得, 

故椭圆的方程为. 

(2)容易求得椭圆的方程为. 

当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 

当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 

由 得. 

设,则 

因为,所以,即 

, 

解得,即. 

故直线的方程为或. 

31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.

【答案】解: 

所以,. 

又由已知,,

所以椭圆C的离心率  

由知椭圆C的方程为. 

设点Q的坐标为(x,y). 

(1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为 

(2) 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. 

因为在直线上,可设点的坐标分别为,则 

.   又 

由,得 

,即 

          ① 

将代入中,得 

                   ② 

由得. 

由②可知 

代入①中并化简,得          ③ 

因为点在直线上,所以,代入③中并化简,得. 

由③及,可知,即. 

又满足,故. 

由题意,在椭圆内部,所以, 

又由有 

且,则. 

所以点的轨迹方程是,其中,,  

32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.

(Ⅰ)求椭圆的方程; 

(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值. 

【答案】解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得 

由题意知,即      又 

所以,       所以椭圆方程为 

(Ⅱ)由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:m(,因为,  

所以,而,所以 

(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: 

,所以,而,代入中得 

为定值. 

33．（2013年高考上海卷（理））如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.

(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;

(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.

【答案】:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为; 

(2)直线与C2有交点,则 

,若方程组有解,则必须; 

直线与C2有交点,则 

,若方程组有解,则必须 

故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. 

(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 

根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则 

直线与圆内部有交点,故 

化简得,............① 

若直线与曲线C1有交点,则 

化简得,.....② 

由①②得, 

但此时,因为,即①式不成立; 

当时,①式也不成立 

综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点, 

即圆内的点都不是“C1-C2型点” . 

34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.

(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;

(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.

【答案】解:(Ⅰ)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为 

,直线的方程为 

设坐标为,由得:,即, 

都在同一条抛物线上,且抛物线方程为 

(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 

由得 

设:,则 

又, 

分别带入,解得 

直线的方程为,即或 

35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为.

(I)若,证明;;

(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程.

【答案】解: (Ⅰ)  

. 

所以,成立. (证毕) 

(Ⅱ) 

则, 

. 

. 

36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点

(1)求椭圆的方程;    (2)求面积取最大值时直线的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是; 

(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;  

由,所以 

,所以 

, 

当时等号成立,此时直线 

37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.

【答案】

38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））设椭圆的焦点在轴上

(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;

(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.

【答案】解: (Ⅰ). 

(Ⅱ) . 

由. 

所以动点P过定直线. 

39．（2013年高考新课标1（理））已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 

【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3. 

设动圆的圆心为(,),半径为R.

(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4, 

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为. 

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2, 

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 

∴当圆P的半径最长时,其方程为, 

当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=. 

当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得. 

当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==. 

当=-时,由图形的对称性可知|AB|=, 

综上,|AB|=或|AB|=. 

40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 

(Ⅰ) 求椭圆的方程; 

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 

【答案】

41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.

(1)    求椭圆的方程;

(2)    是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)由在椭圆上得,    ① 

依题设知,则    ② 

②代入①解得. 

故椭圆的方程为. 

(2)方法一:由题意可设的斜率为, 

则直线的方程为    ③ 

代入椭圆方程并整理,得, 

设,则有 

在方程③中令得,的坐标为. 

从而. 

注意到共线,则有,即有. 

所以  

     ⑤ 

④代入⑤得, 

又,所以.故存在常数符合题意. 

方法二:设,则直线的方程为:, 

令,求得, 

从而直线的斜率为, 

联立 ,得, 

则直线的斜率为:,直线的斜率为:, 

所以, 

故存在常数符合题意. 

42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.

(Ⅰ) 求抛物线的方程;

(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;

(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 

所以抛物线的方程为. 

(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 

设,(其中),则切线的斜率分别为,, 

所以切线的方程为,即,即 

同理可得切线的方程为 

因为切线均过点,所以, 

所以为方程的两组解. 

所以直线的方程为. 

(Ⅲ) 由抛物线定义可知,, 

所以 

联立方程,消去整理得 

由一元二次方程根与系数的关系可得, 

所以 

又点在直线上,所以, 

所以 

所以当时, 取得最小值,且最小值为. 

43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.

【答案】

44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,.记,和的面积分别为和.

(I)当直线与轴重合时,若,求的值;

(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.

【答案】解:(I), 

解得:(舍去小于1的根) 

(II)设椭圆,,直线: 

同理可得, 

又和的的高相等 

如果存在非零实数使得,则有, 

即:,解得 

当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线. 

45．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.

(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;

(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.

【答案】解:(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即.  所以菱形OABC的面积是. 

(II)假设四边形OABC为菱形.  因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为. 

由消去并整理得. 

设A,C,则,. 

所以AC的中点为M(,). 

因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为. 

因为,所以AC与OB不垂直.  所以OABC不是菱形,与假设矛盾. 

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 

46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. 

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; 

(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 

【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C 

(Ⅱ)  点B(-1,0), . 

直线PQ方程为: 

所以,直线PQ过定点(1,0) 

47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.

(I)求的值;

(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.

【答案】

48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知双曲线的左、右焦点分别为,离心率为直线与的两个交点间的距离为.

(I)求;

(II)设过的直线与的左、右两支分别相交于两点,且,证明:成等比数列.

【答案】

49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.

已知抛物线 的焦点为.

(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;

(2)在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?如果存在,求所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)设动点的坐标为,点的坐标为,则, 

因为的坐标为,所以, 

由得. 

即  解得 

代入,得到动点的轨迹方程为. 

(2)设点的坐标为.点关于直线的对称点为, 

则  解得 

若在上,将的坐标代入,得,即或. 

所以存在满足题意的点,其坐标为和.