线线角、线面角、面面角辅导习题

一、线线角（平移法）

例1、如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点求异面直线与所成角的余弦值

练习：1、如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，

侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点求直线AC与PB所成角的余弦值；

二、线面角

1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 、 如图、四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°,  M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（  2）SC与平面ABC所成的角。

2. 利用公式sinθ=h／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 长方体ABCD-A1B1C1D1 ,  AB=3 ,BC=2, A1A= 4  ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。

三、面面角

一、定义法：   

 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线  所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

例1、把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．求二面角C-BP-A的余弦。

二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。

例2、(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,  AA=2,  E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

求二面角B-FC-C的余弦值。     

三、射影面积法（）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。

例3、如图，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.