广东省惠州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

机密★启用前                  考试时间：2022年1月26日   15：00-17：00

惠州市2021—2022学年第一学期期末考试

高一数学试题

全卷满分150分，时间120分钟；本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

考生留意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卡上．

2．第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在中，已知，，且点是的中点，则（    ）

（A）         （B）         （C）       （D）

2．若，则（    ）

   （A）          （B）           （C）            （D） 

3．设全集，集合，，则（    ）

（A）         （B）            （C）         （D） 

4．已知函数（且），的反函数为，若，

则(    )

   （A）              （B）            （C）             （D） 

5．已知、，，若三点共线，则线段的长等于（    ）

（A）             （B）          （C）             （D）

6．已知函数，且，则（    ）

   （A）0              （B）4               （C）0或4           （D）1或3

7．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（    ）

（A）        （B）        （C）          （D）

8．对于任意向量、，下列命题中正确的是 (    )  

（A）若、满足，且与同向，则        （B）

（C）                                      （D）

9．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．

每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图像可以近似地看成函数

的图像，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的

解析式可以是 （    ）

（A）                     （B）            

（C）                     （D）

10．平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，且，，

若，则（    ）

   （A）              （B）                （C）              （D）

11．把函数的图象上全部点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把

所得图象上全部的点向左平移个单位长度，得到图象的函数表达式为 （    ）

（A）  B）       

（C）      D）

12．若偶函数的图像关于对称，且当时，，则函数

的零点个数为 （    ）

    （A）             （B）               （C）              （D）

第Ⅱ卷

留意事项：

第卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．函数的定义域为          ．

14．在直角坐标系中，已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋

转得到角的终边，则          ．

15．计算：          ．

16．设函数(，，是常数，，)．若在区

间上具有单调性，且，则          ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知平面对量，，．

（1）求满足的实数m，n；        

（2）若，求实数k的值．

18．（本小题满分12分）

   已知、都是锐角，，，求的值．

19．（本小题满分12分） 

已知函数(其中，为常数)的图象经过、两点．

（1）求，的值，推断并证明函数的奇偶性；     

（2）证明：函数在区间上单调递增．

20．（本小题满分12分）

已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若函数在[，]上的最大值与最小值之和为，求实数的值.

21．（本小题满分12分）

已知向量，，函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，求的值．

22．（本小题满分12分）

已知，函数. 

  （1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求函数在上的最小值．

惠州市2021—2022学年第一学期期末考试

高一数学试题 参   2022.1

一、选择题（每小题5分，共60分）

2．【解析】由于，则，故选A.

3．【解析】解得，，则，得，故选B .

4．【解析】由知，则，即，且得，故选B.

5．【解析】因三点共线，则//，且、，则得，则，得，故选D .

6．【解析】当时，得成立；当时，得

也成立，故选C .

7．【解析】结合图像和函数性质，由题意易知选D.

8．【解析】因向量有方向，无法比较大小，则A答案错；由，且易知，则C答案错，而则D答案错，故选B .

9．【解析】由两次高潮的时间间隔知，且得，又由最高水深和最低水深得，，将代入解析式得，故选A .

10．【解析】（法一）由与的夹角为可建立平面直角坐标系，则，，

得，则得；

          （法二）由得，则，且，，，，得； 故选D.

11．【解析】由的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的图像，再将的图像向左平移得到的图像，故选B.

12．【解析】由得，即求函数与图像的交点个数，而是偶函数且图像关于直线对称，则周期为2，由题意画出两个函数在的图像如图所示，且两个都是偶函数，可知两函数图像交点个数为个，故选C．

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13、                    14、                  15、                  16、    

13【解析】由，得，故函数定义域为.

14【解析】由三角函数定义知，则.

15【解析】原式.

16【解析】因在内单调，则，，由得间有对称轴，间有对称中心，简图如下图所示，则，得，所以.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分10分）

【解析】（1）∵ ， 得 ………………  2分

   且

∴ ，得                    …………………………  5分

（2）  ∵，          ……………………………… 6分        

且

        ∴                      ……………………………… 9分

∴                                         ………………………………10分

18．（本小题满分12分）

【解析】   ∵  ，且是锐角

得                ……………………………………  3分

∴ ，                       ……………………………………  5分

则 ，             ……………………………………  8分

且        

∴              …………………………………  10分

          …………………………………  12分

19．（本小题满分12分）

【解析】（1）∵ 函数的图像经过、两点

∴  ，得                    …………………………  2分

∴ 函数解析式 ，定义域    ……………………  3分

∵              …………………………  4分

∴ 函数解析式是奇函数                   …………………………  5分

（2）设任意的、，且              …………………………… 6分        

                     …………………………… 7分

                    …………………………… 9分

        ∵，且                      

∴ ，则，且

   得，即            …………………………… 11分

∴ 函数在区间上单调递增．          ………………………………12分

20．（本小题满分12分）

【解析】（1）函数

                 …………………………… 2分

                        …………………………… 4分

            ∴                                         …………………………… 6分

（2）∵ 

∴                               …………………………… 7分

            ∴ 

            ∴ 当即时，

当即时，       …………………………… 10分

             则 ，得              …………………………… 12分

21．（本小题满分12分）

【解析】（1）由题意得    ………………………  2分

由于函数的单调递增区间为 

∴由 得               …………………  3分

                       …………………  5分

∴ 函数的单调递减区间为

                  …………………………  6分

（2） ∵ 　                         

         ∴  

，                                    ………………………… 8分　

∴    ………………………… 9分　

                             ………………………… 10分

                                              ………………………… 11分　　

                             ………………………… 12分

22．（本小题满分12分）

【解析】   函数           …………………… ……… 1分

（1）∵ ，函数的图像如图所示

∴当时，            

则，函数在区间递减，在区间递增    ……………………  3分

  当时，            

则，函数在区间递增                         ……………………  4分

            ∴综上可知，函数的增区间为，，减区间为  ……… 5分

（2）时，函数在区间上是单调递增函数

则                              …………………………  6分                     

时，             

当即时，函数在递增，在递减  

且 ，    ………………………… 7分                       

             若，即时，

若，即时，

当即时，函数在递增，在递减，在递增，

如图所示

且， ；                …………………………  10分                        

        而时，，即

所以时，         …………………………  11分

且此时对，也成立

∴综上所述，时，         

时，               …………………………  12分                    

               图1                                            图2