2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第3课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题

1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于(　　)

A．(26，－78)      B．(－28，－42)

C．－52      D．－78

解析：　a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．

答案：　A

2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上一点P使·有最小值，则P点的坐标是(　　)

A．(－3,0)      B．(2,0)

C．(3,0)      D．(4,0)

解析：　设P点坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，

＝(x－4，－1)．

·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.

当x＝3时，·有最小值1.

∴点P坐标为(3,0)，故选C.

答案：　C

3．已知两不共线向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确的是(　　)

A．(a＋b)⊥(a－b)

B．a与b的夹角等于α－β

C．|a＋b|＋|a－b|＞2

D．a与b在a＋b方向上的投影相等

解析：　对于A，(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0，则(a＋b)⊥(a－b)，A正确；对于B，cos〈a，b〉＝＝cos(α－β)，a与b的夹角等于α－β或β－α，则B错误；对于C，|a＋b|＋|a－b|＝＋，∵－1＜cos(α－β)＜1，∴|a＋b|＋|a－b|＞2，则C正确；对于D，a在a＋b方向上的投影为|a|·cos〈a，a＋b〉，b在a＋b方向上的投影为|b|·cos〈b，a＋b〉，∵cos〈a，a＋b〉＝cos〈b，a＋b〉，则D正确．故选B.

答案：　B

4．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为(　　)

A.      B．－

C．－      D. 

解析：　由已知得|m|＝，|n|＝，m·n＝11，

∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，

∴(λm＋n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0，

即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－.

答案：　C

5．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|等于(　　)

A.      B．2

C．2      D．4

解析：　∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，

∴cos θ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝.

∴|a×b|＝2×2×＝2.故选B.

答案：　B

6．(2011·山东临沂高三一模)在△ABC中，有如下命题，其中正确的是(　　)

①－＝　②＋＋＝0　③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形　④若·＞0，则△ABC为锐角三角形(　　)

A．①②      B．①④

C．②③      D．②③④

解析：　在△ABC中，－＝，①错误；

若·＞0，则∠B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误．

答案：　C

二、填空题

7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．

解析：　∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，

∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．

∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，

即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，

故向量＝(－8,8)，||＝8.

答案：　8

8．若平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于________．

解析：　由＋＋＝0可得(＋＋)2＝0，

∴9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，

·＋·＋·＝－25.

答案：　－25

9．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c.

②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

解析：　命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正确．

由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误．

答案：　②

三、解答题

10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．

(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；

(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；

(3)求向量a在b方向上的投影．

解析：　(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，

∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．

∴b·c＝2×6－2×6＝0，

∴(b·c)a＝0a＝0.

(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，

由于a＋λb与a垂直，

∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.

∴λ的值为.

(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.∴|a|cos θ＝＝

＝－＝－.

11．(2009·湖南卷)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．

(1)若a∥b，求tan θ的值；

(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.【解析方法代码108001054】

解析：　(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，

于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.

(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，

所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，

于是sin＝－.

又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，

所以2θ＋＝或2θ＋＝.

因此θ＝或θ＝.

12．(2011·临沂模拟)已知向量m＝，

n＝.

(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围.【解析方法代码108001055】

解析：　(1)∵m·n＝1，即sincos＋cos2＝1，

即sin＋cos＋＝1，

∴sin＝.

∴cos＝cos＝－cos

＝－

＝2·2－1＝－.

(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，

由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C.

∴2sin Acos B－cos Bsin C＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B＝sin(B＋C)，

∵A＋B＋C＝π，

∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，

∴cos B＝，B＝，

∴0＜A＜.

∴＜＋＜，＜sin＜1.

又∵f(x)＝m·n＝sin＋，

∴f(A)＝sin＋.

故函数f(A)的取值范围是.