高一数学期末试题及答案

数学试题

                       （考试时间  120分钟      试题分值  150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合=

(A)               (B){1}                (C){0,1,2}           (D){-1,0,1,2}  

2.若，则等于

(A)                 (B)              (C)             (D) 

3.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为

(A)                    (B)              (C)             (D) 

4.已知两个球的表面积之比为1∶，则这两个球的半径之比为

(A)1∶              (B)1∶             (C)1∶            (D)1∶ 

5.下列函数中，在R上单调递增的是

(A)            (B)          (C)           (D) 

6.已知点,且,则实数的值是

(A)-3或4         (B)–6或2   (C)3或-4         (D)6或-2 

7.已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：

①若m∥，n∥，则m∥n               ②若m⊥ ，m∥， 则 ⊥

③若m∥ ，n∥ ，则m∥n              ④若m⊥ ， ⊥ ，则m∥ 或m 

其中假命题是

(A) ①         (B) ②         (C) ③        (D) ④

8.函数与的图像

(A)关于轴对称              (B) 关于轴对称

(C) 关于原点对称             (D) 关于直线对称

9.如图1，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为

(A)         (B)       (C)        (D) 

10.已知两条直线l1: x + my + 6 = 0, l2: (m－2)x + 3y + 2m = 0，当m为何值时, l1与l2垂直．

(A)-2                (B)2                 (C)             (D) -

11.已知，则在下列区间中，有实数解的是

(A)（－3，－2）      (B)（－1，0）        (C) （2，3）      (D) （4，5）

12.已知圆C的方程为，过点P(-1,2)的直线与圆C

交于A,B两点，若使最小，则直线的方程是

(A) x+y+3=0          (B) x-y+3=0           (C) x+y-3=0        (D)  x-y-3=0

二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共20分)

13．已知，则实数的大小关系为           ．

14．已知，⊙O1:x2+y2=1与⊙O2:(x-3)2+(y+4)2=9,则⊙O1与⊙O2的位置关系为      ．

15．已知是奇函数，且当时，，则的值为        ．

16．如图2-①，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），则图2-①中的水面高度为           ．

三、解答题(本大题6小题, 共70分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. （本题满分10分）如图3，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．

（1）求OC所在直线的斜率；

（2）过点C做CD⊥AB于点D ，求CD所在直线的方程．

18. （本题满分12分）如图4，已知正四棱锥-中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若，，求正四棱锥-的体积．

19. （本题满分12分）已知函数

（1）在图5给定的直角坐标系内画出的图象；

（2）写出的单调递增区间．

20. （本题满分12分）如图6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

21. （本题满分12分）一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的75％，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的（结果保留1个有效数字）？（，）

22. （本题满分12分）已知⊙O：和定点A(2,1)，由⊙O外一点

向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足．

(1) 求实数a、b间满足的等量关系；

(2) 求线段PQ长的最小值.

．

参及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基础知识和基本运算．共12小题，每小题5分，满分60分．

13.   14. 相离     15. -2   16. 

三、解答题

17. 本小题主要考查直线的斜率、两条直线的位置关系等基础知识，考查基本的逻辑推理能力和运算能力．满分10分．

解: (1) 点O（0，0），点C（1，3），

OC所在直线的斜率为.     4分 

（2）在中，,

CD⊥AB，

CD⊥OC.                 

CD所在直线的斜率为.      7分 

CD所在直线方程为

.                    10分

18. 本小题主要考查对正棱锥中点、线、面的位置关系的理解，锥体的体积计算等基础知识，考查基本的推理演算能力和空间观念．满分12分．

解法1：正四棱锥-中，ABCD是正方形， 1分

(cm).        3分

且(cm2).  7分

,       8分

Rt△VMC中， (cm).9分

正四棱锥-的体积为(cm3)12分

解法2：正四棱锥-中，ABCD是正方形， 

 (cm).                        

且(cm) .

 (cm2).                          

,

Rt△VMC中， (cm).           

正四棱锥-的体积为(cm3).  

说明：没有带单位，统一扣1分.

19. 本小题主要考查分段函数的有关概念、图像和性质等基础知识，考查作图能力和运用图像解决问题的能力．满分12分．

解：(1)函数的图像如右图所示；6分

（2）函数的单调递增区间为[-1，0]和[2，5]  12分

说明：单调递增区间没有写成闭区间形式，统一扣1分.

20. 本小题主要考查正方体中线线、线面的位置关系等基础知识，考查空间观念和逻辑推理能力．满分12分．

（1）证明:连结BD.

在长方体中，对角线.

又E、F为棱AD、AB的中点，

.

.                          

又B1D1平面，平面，

  EF∥平面CB1D1.                   6分

（2）在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，

AA1⊥B1D1.

又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

B1D1⊥平面CAA1C1.                  

又B1D1平面CB1D1，

平面CAA1C1⊥平面CB1D1．                 12分

21. 本小题主要考查指数函数与对数函数的基础知识，考查数学建模能力和与指数对数有关的实数运算能力．满分12分．

解：设这种放射性物质最初的质量是1，经过年后，剩留量是，则有．  6分

依题意，得，                                     7分 

即．           10分 

∴  估计约经过4年，该物质的剩留量是原来的.                         12分

22. 本小题主要考查平面上两点间的距离公式、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查数形结合等数学方法，考查逻辑推理能力、空间想象能力．满分12分．

解：（1）连为切点，，由勾股定理有

. 2分

又由已知，故.

即：.5分

化简得实数a、b间满足的等量关系为：.   6分

（2）由，得. 7分

=.10分

故当时，即线段PQ长的最小值为12分    

解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.

∴    | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.

∴    | PQ |min = =.                          

∴    所求圆方程为.    12分