| 2011年北京市四中中考数学全真模拟试题（五） |
2011年北京市四中中考数学全真模拟试题（五）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2005•芜湖）芜湖地江中下游，水资源丰富，素有“江南水乡”之美称．据测量，仅浅层地下水蕴藏量就达56 000万m3，用科学记数法记作（ ）
| A． | 5.6×109m3 | B． | 56×108m3 | C． | 5.6×108m3 | D． | 56000×104m3 |
2．（4分）（2005•芜湖）请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
3．（4分）（2005•芜湖）在“手拉手，献爱心”捐款活动中，九年级七个班级的捐款数分别为：260，300，240，220，240，280，290（单位：元），则捐款数的中位数和众数为（ ）
| A． | 280，300 | B． | 260，240 | C． | 240，250 | D． | 270，280 |
4．（4分）（2008•永春县）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=7，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
| A． | 外离 | B． | 外切 | C． | 相交 | D． | 内含 |
5．（4分）（2007•长沙）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）所在象限是（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
6．（4分）（2005•芜湖）如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（ ）
| A． | 15° | B． | 20° | C． | 30° | D． | 45° |
7．（4分）（2005•芜湖）下列图形中，是轴对称而不是中心对称图形的是（ ）
| A． | 平行四边形 | B． | 菱形 | C． | 等腰梯形 | D． | 直角梯形 |
8．（4分）（2005•芜湖）若使分式的值为0，则x的取值为（ ）
| A． | 1或﹣1 | B． | ﹣3或1 | C． | ﹣3 | D． | ﹣3或﹣1 |
9．（4分）（2005•芜湖）若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（ ）
| A． | 八边形 | B． | 九边形 | C． | 十边形 | D． | 十二边形 |
10．（4分）估算的值（ ）
| A． | 在4和5之间 | B． | 在5和6之间 | C． | 在6和7之间 | D． | 在7和8之间 |
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）（2012•香坊区一模）在函数y=中，自变量x的取值范围是 _________ ．
12．（5分）已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为 _________ ．
13．（5分）（2005•芜湖）若反比例函数y=﹣的图象经过点（﹣3，﹣2），则m= _________ ．
14．（5分）（2005•芜湖）计算：2a3•（3a）3= _________ ．
15．（5分）（2005•芜湖）在珠穆朗玛峰周围2千米的范围内，还有较著名的洛子峰（海拔8516米）、卓穷峰（海拔75米），马卡鲁峰（海拔8463米），章子峰（海拔7543米），努子峰（海拔7855米），和普莫里峰（海拔7145米）六座山峰，则这六座山峰海拔高度的极差为 _________ 米．
16．（5分）（2005•芜湖）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 _________ ．
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．（12分）（2005•芜湖）（1）解不等式组：
（2）因式分解：y3﹣4x2y
18．（8分）（2005•芜湖）如图，已知在半圆AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2，求AD的长度．
19．（8分）（2005•芜湖）下图是由权威机构发布的，在1993年4月～2005年4月期间由中国经济状况指标之一中国经济预警指数绘制的图表．
（1）请你仔细阅读图表，可从图表中得出：我国经济发展过热的最高点出现在 _________ 年；我国经济发展过冷的最低点出现在 _________ 年．
（2）根据该图表提供的信息，请你简单描述我国从1993年4月到2005年4月经济发展状况，并预测2005年度中国经济发展的总体趋势将会怎样．
20．（8分）（2005•芜湖）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=3，OP=6，求∠BAP的度数．
21．（10分）（2005•芜湖）如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？
（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？
22．（10分）（2005•芜湖）已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．
23．（12分）（2005•芜湖）小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明．
24．（12分）（2005•芜湖）在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下．
（1）试问小球通过第二层A位置的概率是多少？
（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？
2011年北京市四中中考数学全真模拟试题（五）
参与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2005•芜湖）芜湖地江中下游，水资源丰富，素有“江南水乡”之美称．据测量，仅浅层地下水蕴藏量就达56 000万m3，用科学记数法记作（ ）
| A． | 5.6×109m3 | B． | 56×108m3 | C． | 5.6×108m3 | D． | 56000×104m3 |
| 考点： | 科学记数法—表示较大的数．19994 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． |
| 解答： | 解：56 000万=560 000 000=5.6×108．故选C． |
| 点评： | 用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． |
2．（4分）（2005•芜湖）请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 有理数的减法．19994 |
| 专题： | 图表型． |
| 分析： | 本题是有理数运算的实际应用，就是已知两个数的和及其中一个加数，求另外一个加数，作减法列出正确的算式． |
| 解答： | 解：依题意得：﹣=． 故选C． |
| 点评： | 有理数运算的实际应用题是中考的常见题，其解答关键是依据题意正确地列出算式． |
3．（4分）（2005•芜湖）在“手拉手，献爱心”捐款活动中，九年级七个班级的捐款数分别为：260，300，240，220，240，280，290（单位：元），则捐款数的中位数和众数为（ ）
| A． | 280，300 | B． | 260，240 | C． | 240，250 | D． | 270，280 |
| 考点： | 众数；中位数．19994 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | 根据中位数和众数的定义求解，即把数据按大小排列，第4个数为中位数，240出现的次数最多为众数． |
| 解答： | 解：将这组数据从小到大的顺序排列（220，240，240，260，280，290，300）， 处于中间位置的那个数是260元， 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是260元； 在这一组数据中240元是出现次数最多的，故众数是240元； ∴故捐款数的中位数和众数为260元，240元． 故选B． |
| 点评： | 本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． |
4．（4分）（2008•永春县）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=7，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
| A． | 外离 | B． | 外切 | C． | 相交 | D． | 内含 |
| 考点： | 圆与圆的位置关系．19994 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）． |
| 解答： | 解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=7， r1+r2=5+2=7， ∴两圆外切． 故选B． |
| 点评： | 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法． |
5．（4分）（2007•长沙）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）所在象限是（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
| 考点： | 点的坐标．19994 |
| 分析： | 应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． |
| 解答： | 解：∵点的横坐标4＞0，纵坐标﹣3＜0，∴点P（4，﹣3）在第四象限． 故选D． |
| 点评： | 本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． |
6．（4分）（2005•芜湖）如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（ ）
| A． | 15° | B． | 20° | C． | 30° | D． | 45° |
| 考点： | 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．19994 |
| 分析： | 坡度即为坡角的正切值． |
| 解答： | 解：∵tanα=1：=， ∴坡角α为30°． 故选C． |
| 点评： | 此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用． |
7．（4分）（2005•芜湖）下列图形中，是轴对称而不是中心对称图形的是（ ）
| A． | 平行四边形 | B． | 菱形 | C． | 等腰梯形 | D． | 直角梯形 |
| 考点： | 轴对称图形；中心对称图形．19994 |
| 分析： | 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． |
| 解答： | 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．错误． 故选C． |
| 点评： | 掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合． |
8．（4分）（2005•芜湖）若使分式的值为0，则x的取值为（ ）
| A． | 1或﹣1 | B． | ﹣3或1 | C． | ﹣3 | D． | ﹣3或﹣1 |
| 考点： | 分式的值为零的条件．19994 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． |
| 解答： | 解：由分子x2+2x﹣3=0，即（x+3）（x﹣1）=0， 解得：x=﹣3或1． 而x=﹣3时，分母=9﹣1=8≠0； x=1时分母=1﹣1=0，分式没有意义， 故选C． |
| 点评： | 要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义． |
9．（4分）（2005•芜湖）若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（ ）
| A． | 八边形 | B． | 九边形 | C． | 十边形 | D． | 十二边形 |
| 考点： | 多边形内角与外角．19994 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°=1080°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． |
| 解答： | 解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）•180°=3×360°， 解得：n=8，即这个多边形为八边形． 故选A． |
| 点评： | 根据多边形的内角和定理和外角和的特征，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． |
10．（4分）估算的值（ ）
| A． | 在4和5之间 | B． | 在5和6之间 | C． | 在6和7之间 | D． | 在7和8之间 |
| 考点： | 估算无理数的大小．19994 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 首先估算的整数部分和小数部分，由此即可判定选择项． |
| 解答： | 解：∵36＜39＜49， ∴6＜＜7． 故选C． |
| 点评： | 此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． |
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11．（5分）（2012•香坊区一模）在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
| 考点： | 函数自变量的取值范围．19994 |
| 专题： | 常规题型． |
| 分析： | 分式有意义的条件：分母不能为0，即让分母不为0即可． |
| 解答： | 解：根据题意得：x﹣2≠0； 解得x≠2． 故答案为：x≠2． |
| 点评： | 本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，用到的知识点为：分式的分母不能为0． |
12．（5分）已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为 17 ．
| 考点： | 等腰三角形的性质．19994 |
| 专题： | 分类讨论． |
| 分析： | 因为边为3和7，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． |
| 解答： | 解：当3为底时，其它两边都为7；3、7、7可以构成三角形，周长为17； 当3为腰时，其它两边为3和7；3+3=6＜7，所以不能构成三角形，此种情况不成立； 所以等腰三角形的周长是17． 故填17． |
| 点评： | 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． |
13．（5分）（2005•芜湖）若反比例函数y=﹣的图象经过点（﹣3，﹣2），则m= ﹣6 ．
| 考点： | 待定系数法求反比例函数解析式．19994 |
| 专题： | 计算题；待定系数法． |
| 分析： | 函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=﹣即可求得m的值． |
| 解答： | 解：函数经过点（﹣3，﹣2）， ∴﹣2=﹣，得m=﹣6． 故答案为：﹣6． |
| 点评： | 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容． |
14．（5分）（2005•芜湖）计算：2a3•（3a）3= 54a6 ．
| 考点： | 单项式乘单项式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．19994 |
| 分析： | 根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘单项式的法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可． |
| 解答： | 解：2a3•（3a）3， =2a3•（27a3）， =54a3+3， =54a6． |
| 点评： | 本题主要考查积的乘方的性质，单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． |
15．（5分）（2005•芜湖）在珠穆朗玛峰周围2千米的范围内，还有较著名的洛子峰（海拔8516米）、卓穷峰（海拔75米），马卡鲁峰（海拔8463米），章子峰（海拔7543米），努子峰（海拔7855米），和普莫里峰（海拔7145米）六座山峰，则这六座山峰海拔高度的极差为 1371 米．
| 考点： | 极差．19994 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 极差就是这组数据中最大值与最小值的差． |
| 解答： | 解：极差=8516﹣7145=1371（米）． 故填1371． |
| 点评： | 极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 注意：（1）极差的单位与原数据单位一致； （2）如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确． |
16．（5分）（2005•芜湖）已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为 3.75 ．
| 考点： | 正方形的性质；相似三角形的性质．19994 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据△ABC∽△AMN，可将BC的长求出，由OB的长可将OC的长求出，同理根据△ABC∽△AEF，可将EF的长求出，由PE的长可将PF的长求出，代入梯形的面积公式可将阴影部分的面积求出． |
| 解答： | 解：∵BC∥MN ∴=，即=，解得：BC=1 ∵OB=3 ∴OC=3﹣1=2 ∵BC∥EF ∴=，即=，解得：EF= ∵PE=3 ∴PF=3﹣= ∴梯形OCFP的面积为：（2+）×3×=3.75 故图中阴影部分面积为3.75． |
| 点评： | 利用三角形相似，可将阴影部分为梯形的上底和下底求出，进而可求出阴影部分的面积． |
三、解答题（共8小题，满分80分）
17．（12分）（2005•芜湖）（1）解不等式组：
（2）因式分解：y3﹣4x2y
| 考点： | 解一元一次不等式组；提公因式法与公式法的综合运用．19994 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． （2）先提取公因式y，再利用平方差公式分解即可． |
| 解答： | 解：（1）， 由①得x＜4． 由②得x≥﹣1． ∴不等式组解集为﹣1≤x＜4． （2）y3﹣4x2y， =y（y2﹣4x2）， =y（y+2x）（y﹣2x）． |
| 点评： | 本题考查了一元一次不等式组的解法，提公因式法，公式法分解因式． （1）求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． （2）提取公因式后还可以利用平方差公式继续分解因式，分解因式一定要彻底． |
18．（8分）（2005•芜湖）如图，已知在半圆AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2，求AD的长度．
| 考点： | 圆周角定理；解直角三角形．19994 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 易求得∠B=60°，由于AD=CD，即D是弧AC的中点；那么弧AD、弧CD、弧BC所对的圆周角都是30°，即C、D半圆AB的三点分点，因此BC=AD；在Rt△ABC中，易求得BC的长，也就能求出AD的长度． |
| 解答： | 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°，∴弧BC的度数=弧AC的度数； ∵AD=DC， ∴弧AD的度数=弧DC的度数=弧AC的度数，∴弧BC的度数=弧AD的度数； ∴BC=AD． 在Rt△ABC中 ∵∠CAB=30°，AC=2且BC=AC•tan∠CAB， ∴BC=2×tan30°=2． ∴AD=2． |
| 点评： | 此题综合考查了学生对圆周角定理及解直角三角形的掌握情况． |
19．（8分）（2005•芜湖）下图是由权威机构发布的，在1993年4月～2005年4月期间由中国经济状况指标之一中国经济预警指数绘制的图表．
（1）请你仔细阅读图表，可从图表中得出：我国经济发展过热的最高点出现在 年；我国经济发展过冷的最低点出现在 年．
（2）根据该图表提供的信息，请你简单描述我国从1993年4月到2005年4月经济发展状况，并预测2005年度中国经济发展的总体趋势将会怎样．
| 考点： | 折线统计图．19994 |
| 专题： | 阅读型． |
| 分析： | （1）由折线统计图可以看出：预警指数高的点表示经济发展过热，相反，预警指数低的点表示经济发展过冷，由此即可求出答案； （2）从折线统计图中能看出数据的变化情况，1993年经济过热的最高点，此后逐渐降温，到1998年经济过冷的最低点，然后经济逐步回升并趋于稳定，由此即可求出答案． |
| 解答： | 解：（1）1993年的预警指数最高点，所以1993年是经济发展过热的最高点；1998年预警指数最低点，所以1998年是经济发展过冷的最低点； （2）从1993年经济过热逐渐降温，到1998年经济过冷，之后经济逐步回升并趋于稳定； 由图表预测2005年经济虽然有所降温，但总体保持稳定． |
| 点评： | 本题考查的是折线统计图的综合运用．从折线统计图中不仅能看出数据的多少，还能看出数据的变化情况． |
20．（8分）（2005•芜湖）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=3，OP=6，求∠BAP的度数．
| 考点： | 切线的性质；三角形内角和定理．19994 |
| 分析： | 根据切线的性质可知，OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=3，OP=6，易求得∠OPA的正弦值，即可得出∠OPA的度数，再根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． |
| 解答： | 解：∵PA为⊙O的切线，A为切点， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP=90°； 在Rt△OAP中， ∵sin∠OPA===， ∴∠OPA=30°， ∴∠AOP=90°﹣∠OPA=90°﹣30°=60°； 在△OAB中， ∵∠AOP=60°，OA=OB， ∴∠OAB=60°， ∴∠BAP=∠OAP﹣∠OAB=90°﹣60°=30°． |
| 点评： | 本题考查的是切线的性质、特殊角的三角函数及直角三角形的性质． |
21．（10分）（2005•芜湖）如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？
（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？
| 考点： | 几何体的展开图；勾股定理．19994 |
| 分析： | （1）由长方形中最长的线段为对角线，从而可根据已知运用勾股定理求得最长线段的长，又因为展开图形中有两个长方形，每个长方形有两条对角线，知这样的线段可画4条； （2）要确定角的大小关系，一般把两个角分别放在两个三角形中，然后根据三角形的特点或者全等或者相似形来解． |
| 解答： | 解：（1）在平面展开图中可画出最长的线段长为，（1分） 如图（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得， ∴．（3分） 答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）．（4分） （2）∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴∠BAC=45°．（5分） 在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=，B'C'=．（7分） 又∵A′B′2+B′C′2=A′C′2， 由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形． 又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′为等腰直角三角形．（8分） ∴∠B′A′C′=45°．（9分） ∴∠BAC与∠B′A′C′相等．（10分） |
| 点评： | 本题综合考查了展开与折叠，等腰直角三角形，勾股定理的知识，是一道综合性比较强的题，难度中等． |
22．（10分）（2005•芜湖）已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．
| 考点： | 待定系数法求二次函数解析式．19994 |
| 分析： | 根据对称轴是x=1，抛物线与x轴两交点距离为4确定抛物线与x轴的交点，再利用交点式求抛物线的表达式． |
| 解答： | 解：∵抛物线与x轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴 ∴抛物线与x轴两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0） 设抛物线的解析式y=a（x+1）（x﹣3） 又∵抛物线过（2，﹣3）点 ∴﹣3=a（2+1）（2﹣3） 解得a=1 ∴二次函数的解析式为 y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3． |
| 点评： | 本题考查了抛物线的对称性和待定系数法求抛物线的表达式，题目比较普遍． |
23．（12分）（2005•芜湖）小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明．
| 考点： | 相似三角形的应用．19994 |
| 专题： | 综合题；压轴题；阅读型． |
| 分析： | （1）小胖的话不对，因为小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，可知B在地面上时，A距离地面1米，利用OP是三角形的中位线可知OP=0.5米，若将两端同时都再伸长相同的长度，OP依然是三角形的中位线，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍即为1米，所以不可能翘得更高； （2）能找出，方法是：保持BO长度不变．将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半，利用相似三角形的性质，可知A离地面的高度：OP=2.5：1，即小瘦距离地面1.25米． |
| 解答： | 解：（1）小胖的话不对．（2分）小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示 OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面．∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP=∠ABC，∴△OBP∽△ABC，∴．（4分） 又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO=OA，∴，而AC=1米，得OP=0.5米．（5分） 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0）．如图2所示， BD=a米，AE=a米（6分） ∵BO=OA， ∴BO+a=OA+a，即DO=OE． ∴，同理可得△DOP∽△DEF， ∴，由OP=0.5米，得EF=1米．（7分） 综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高． （2）①方案一：如图3所示， 保持BO长度不变．将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半．（8分） 使AE=OA，则，（9分） 由△BOP∽△BEF，得，（11分） ∴EF=1.25米，（12分） ②方案二：如图4所示，只将支架升高0.125米．（8分） ∵，△B′O′P'′△B′A′C′， 又O'P'=0.5+0.125=0.625米，（9分） ∴，（11分） ∴A′C′=1.25米．（12分） （注：其它方案正确，可参照上述方案评分！） |
| 点评： | 本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形对应边成比例即可解答问题． |
24．（12分）（2005•芜湖）在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下．
（1）试问小球通过第二层A位置的概率是多少？
（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？
| 考点： | 列表法与树状图法．19994 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 把每一层的菱形看做一步，经过几层就看做几步画树状图，概率为在此点可能的概率相加． |
| 解答： | 解：（1）∵实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的， ∴经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半．画树状图可知，落到A点位置的概率为； （2）同理可画树状图得，落到B点位置的概率为； 同理可画树状图得，落到C点位置的概率为． |
| 点评： | 得到每一个菱形处向左或向右的概率均为，经过某点的概率为该点处的两个概率相加是解决本题的关键． |
参与本试卷答题和审题的老师有：zhangCF；蓝月梦；hnaylzhyk；zzz；HJJ；137-hui；MMCH；ln_86；zhehe；zhjh；fuaisu；wdxwzk；733599；lanchong；zcx；CJX；Linaliu；lanyan；刘超；心若在；自由人；ljj；算术；cook2360（排名不分先后）
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2014年3月16日
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