2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.设，则                                      (         )

  A．    B．  C．    D． 

2. 设条件：实数满足条件：实数满足则 (         )

  A．是的充分不必要条件      B．是的必要不充分条件

  C．是的充要条件            D．既不是的充分条件又不是的必要条件

3. 若是等差数列，若，则使前项和成立的最大自然数是                                                               (         )

  A．             B．             C．            D． 

4. 给定平面向量，平面向量是向量经过 (      )

  A．顺时针旋转所得             B．顺时针旋转所得

  C．逆时针旋转所得             D．逆时针旋转所得

5. 在如图所示的三棱柱中，点、的中点及的中点所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 (       )

  A．             B．             C．            D． 

6. 已知圆，两点在以为起点的射线上，并且满足，则称关于圆对称，那么双曲线上的点关于圆的对称点所满足的方程是                                                          (         )

  A．               B． 

  C．            D． 

二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

7.已知，则________________.

8.已知若可以表示成的形式(为正整数)，则_______________.

9.不等式的解集是__________________.

10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.

11.随机摸选一个三位数，则含有因子5的概率为_______________.

12.已知实数满足.若不等式恒成立，则实数的最大值是_____________.

三、解答题（本大题共4小题，共72分）

*13.（本小题满分16分）已知为的内部一点，，试研究的三边满足的关系，并证明你的结论.

14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第个月从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且.例如表示1月份，和是正整数，.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

15.（本小题满分20分）若实数满足，则称为函数的一个不动点.已知（其中为常数）有互异的两个极值点和.试判断是否存在实数组，使得和皆为不动点，并证明你的结论.

16.（本小题满分20分）已知数列满足，数列满足，求证：存在正整数，使得对任意都有.