培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析

1．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：

【答案】

【解析】

由韦达定理，有，．于是，对正整数，有

原式=

2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【答案】（1）5；（2）180

【解析】

【分析】

（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；

（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．

【详解】

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：

x+1+（x+1）x＝36，

解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；

（2）根据题意得：5×36＝180（个），

答：第三轮将又有180人被传染．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.

3．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.

【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.

【解析】

试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.

试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0

∴x=2b a

-±=4122-=-⨯

∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－

14，y 2＝32

.

4．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．

（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；

（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

【答案】（1）两次下降的百分率为10%；

（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元． 【解析】 【分析】

（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；

（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为 x ． 40×（1﹣x ）2＝32.4

x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；

（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得

()4030y (448)5100.5

y

--⨯

+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5， ∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元． 【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．

5．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2． 【解析】 【分析】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米， 根据题意得：x(32﹣2x)=126， 解得：x 1=7，x 2=9， ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米． （2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米， 根据题意得：y(36﹣2y)=170， 整理得：y 2﹣18y+85=0．

∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．

6．已知：关于x 的一元二次方程221

(1)204

x m x m +++-=.

（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足2

2211221184

x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】

（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；

（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，2

12124

x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】

解：（1）∵2

21(1)204

x m x m +++-=有两个实数根，

∴2

2

1(1)41(2)04

m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92

m ≥-

； ∴m 的最小整数值为：4m =-；

（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，2

12124

x x m =-， 由2

2

2

12121184

x x x x m ++=-

得： ()22211121844m m m ⎛⎫

⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭

∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-； ∵9

2

m ≥-

， ∴3m =. 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则

12b

x x a +=-

，12c x x a

=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.

7．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：

这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1

254

y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；

（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？

（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.

【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；

（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；

（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】

（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=k b

94=3k b +⎧⎨

+⎩

解得:k=-2,b=100

∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，

()1210025204W t t ⎛⎫

=-++- ⎪⎝⎭

21

151002t t =-++

()2

115612.52

t =-

-+

∵

1

02

<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--

⎪⎝⎭

()21

1525001002

t a t a =-+++-，

∴对称轴为：152t a =+，

∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.

8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?

(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;

【答案】（1）3011t =；（2）55t ±= 【解析】 【分析】

（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.

（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】

解：（1）在Rt ABC ∆中，

90,8,6C AC BC ︒∠===，

22228610AB AC BC ∴=+=+=

102//,,1068

PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55

PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形， 3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552

t t =+=⨯⨯⨯ 整理得2t 550t -+=，解得55t ±=

552

t ±∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。 【点睛】

本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.

9．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？

（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加

m 件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．

【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．

【解析】

试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；

（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+

m ），列出方程求解即可． 试题解析：（1）设销售单价至少为x 元，根据题意列方程得，

150（x ﹣20）=2250，

解得x=35，

答：销售单价至少为35元；

（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+

m ）=5670， 150+

m ﹣150×m%﹣m%×m=162， m ﹣m 2=12，

m2﹣20m+=0，

m1=4，m2=16，

∵要使销售量尽可能大，

∴m=16．

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．

（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；

（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．

【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（

1

2

-，0）或（

1

2

，0）.

【解析】

【分析】

（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；

（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-

4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．

【详解】

解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，

所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），

由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，

所以0＝a+2，

解得a＝﹣2；

（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”

∴11

a b

-=，

∴a+b＝0．

∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根

∴a+b＝k＝0，

∴x2﹣4＝0，

∴x1＝2，x2＝﹣2．

①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为

1

,0

2

⎛⎫- ⎪⎝⎭

；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1

2

，0 ）

∴综上所述，“x牵手点”为

1

,0

2

⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

或（

1

2

，0）

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．