双曲线焦点三角形问题

在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为,

分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：

 性质1、若则特别地，当时，有

性质2、焦点三角形在处的内角平分线，过作平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是？

性质3、以为直径做一个圆与大圆（以为直径的圆）相切。

 性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边，，于点A,B,C，双曲线的两个顶点为

所以A点在双曲线上，又因为A在上，A是双曲线与x轴的交点即点

性质5、在双曲线中A，B在双曲线上且关于原点对称，P为椭圆上任意一点，则

性质6、P点在x=c上移动的过程当中，张角的取值范围（A，B为两顶点）。

性质7、双曲线离心率为e，其焦点三角形的旁心为A，线段PA的延长线交的延长线于点B，则

证明：由角平分线性质得

性质8、双曲线的焦点三角形中，

当点P在双曲线右支上时，有 

当点P在双曲线左支上时，有