新人教版八年级数学上册11.1与三角形有关的线段教案

11．1.1　三角形的边

教学目标

1．理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、角，会数三角形的个数．(重点)

2．能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形．(重点)

3．三角形在实际生活中的应用．(难点)

教学过程

一、情境导入

出示金字塔、战机、大桥等图片，让学生感受生活中的三角形，体会生活中处处有数学．

教师利用多媒体演示三角形的形成过程，让学生观察．

问：你能不能给三角形下一个完整的定义？

二、合作探究

探究点一：三角形的概念

例1图中的锐角三角形有(　　)

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

解析：(1)以A为顶点的锐角三角形有△ABC、△ADC共2个；(2)以E为顶点的锐角三角形有△EDC共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3(个)．故选B.

方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n个点，那么就有条线段，也可以与线段外的一点组成个三角形．

探究点二：三角形的三边关系

【类型一】 判定三条线段能否组成三角形

例2以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)

A．2cm，3cm，5cm

B．5cm，6cm，10cm

C．1cm，1cm，3cm

D．3cm，4cm，9cm

解析：选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.

方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．

【类型二】 判断三角形边的取值范围

 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　)

A．3＜x＜11  B．4＜x＜7

C．－3＜x＜11  D．x＞3

解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A.

方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．

【类型三】 等腰三角形的三边关系

 已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．

解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．

解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.

方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．

【类型四】 三角形三边关系与绝对值的综合

 若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.

解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．

解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.

方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．

三、板书设计

三角形的边

1．三角形的概念：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．

2．三角形的三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

教学反思

本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．

11．1.2　三角形的高、中线与角平分线

教学目标

1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．(重点)

2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．(难点)

教学过程

一、情境导入

这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题．

二、合作探究

探究点一：三角形的高

【类型一】 三角形高的画法

例1 画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是(　　)

解析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．

解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D.故选D.

方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．

【类型二】 根据三角形的面积求高

例2如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．

解析：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知AD·BC＝BP·AC，解得BP＝.

方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．

探究点二：三角形的中线

【类型一】 应用三角形的中线求线段的长

例3在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.

解析：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm.

方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．

【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题

例4如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．

解析：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为2.

方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．

探究点三：三角形的角平分线

例5如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．

解析：根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．

解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.

方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．

三、板书设计

三角形的高、中线与角平分线

1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．

2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．

3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．

教学反思

本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固．

11．1.3　三角形的稳定性

教学目标

1．通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．(重点)

2．三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用．(难点)

教学过程

一、情境导入

一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳定性好？”先听它们是怎么说的．

三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！”

四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！”

三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！”

四边形：“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！”

假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？

二、合作探究

探究点：三角形的稳定性

【类型一】 三角形稳定性的应用

例1要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？

解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．

解：过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．

方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．

【类型二】 四边形的不稳定性

例2大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门，它常常做成四边形的形状，你知道这是为什么吗？

解析：从四边形特性的角度考虑．

解：伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形易变形这一特性．

方法总结：四边形具有不稳定性，容易变形，我们生活中的很多实例都利用了这一性质，注意在日常生活中积累这方面的经验．

三、板书设计

    三角形的稳定性    

1．三角形具有稳定性

2．四边形没有稳定性

3．三角形的稳定性的应用

4．四边形的不稳定性的应用

教学反思

在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题．学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号．这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础．