因动点产生的面积问题

1.（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

2. （2010年湖州市中考第24题）如图1，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．

（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问当CF为何值时S最小，并求出最小值．

图

3. （2010年扬州市中考第28题）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1备用图

4. （2011年上海市闵行区中考模拟第24题）如图1，已知：抛物线y＝x2＋bx－3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC．

（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CE // x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．

图1

5. （2011年上海市松江区中考模拟第24题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E． 

（1）求点E的坐标；

（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．

①求二次函数的解析式和它的对称轴；

②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．

图1

6. （2011年南通市中考第28题）如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

图1

因动点产生的面积问题

1.（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图像，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．

思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．

2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．

3．第（2）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．

4．图形翻折、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答

(1)①如图2，当E在OA上时，，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．

此时S＝S△ODE＝．

②如图3，当E在AB上时，，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD

 ＝．

(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，

那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DNH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．

图2图3图4

考点伸展

把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．

图5图6图7

2. 2010年湖州市中考第24题

如图1，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．

（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问当CF为何值时S最小，并求出最小值．

图1图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10湖州24”，拖动点F在OC上运动，可以体验到，△BMF与△ENB保持全等．观察S随CF变化的图像，可以体验到，S是CF的二次函数，当CF＝2时，S取得最小值．

思路点拨

1．过点B向坐标轴作垂线，图形中就构造出丰富的余角，从而构造出相似三角形．本题中因为点B的坐标特殊，因此构造出全等三角形．

2．用CF表示△BEF与△BFC的面积之差，首先要判断△BEF是等腰直角三角形，这样△BEF的面积就转化为求BF2的问题．

满分解答

(1)根据题意可得A(0,2)，B(2,2)，C(3,0)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，

那么  解得，，．所以抛物线的解析式为．

(2)由，得抛物线的顶点G的坐标为（）．

如图2，过点B作x轴的垂线，垂足为M，过点E作y轴的垂线，交BM于N．

因为∠BEN与∠FBM都是∠EBN的余角，所以∠BEN＝∠FBM．

又因为BM＝EN＝2，所以△BMF≌△ENB．因此BE＝BF，BN＝FM．

当BE经过抛物线的顶点G时，．此时．

(3)设CF的长为a．在Rt△BFM中，．

因为△BEF是等腰直角三角形，所以．

因此．

所以当CF＝2时，S取得最小值，最小值为．

考点伸展：图2是一个典型图，在这个图形中，△BMC≌△BAD，△BFC≌△BED，△BFM≌△BEA≌△ENB，△BEF与△BDC、△BAM都是等腰直角三角形．

如果把本题中的条件“角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F”改为“角的两边分别交y轴、x轴于E和F”，那么上述结论依然成立（如图3，图4）．

图3图4

3. （2010年扬州市中考第28题）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图像可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图像是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分△ABC的周长，拖动点E，观察图像，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。

思路点拨

1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．

2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．

3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．

满分解答

(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．

(2) ①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．②当时，的最大值为；

当时，的最大值为．

因此，当时，y的最大值为．

图2图3图4

(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．

先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．因为在3＜x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．

考点伸展

如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．

先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．

因此．

解方程．整理，得．此方程无实数根．

4. （2011年上海市闵行区中考模拟第24题）如图1，已知：抛物线y＝x2＋bx－3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC．（1）求这条抛物线的解析式；

（2）过点C作CE // x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．

动感体验

请打开几何画板文件名“11闵行24”，拖动点A在x轴的负半轴上运动，可以体验到，△DCE的形状保持DC＝DE，当OA＝OC时，△DCE是等腰直角三角形．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△MCD与△ECD是同底的三角形，当M落在与CD平行的两条直线上时，两个三角形的面积相等，这两个点M关于点D中心对称．

思路点拨

1．求抛物线的解析式，关键是求点A的坐标，根据已知条件，数形结合．

2．判断△CDE的形状是等腰直角三角形，可以方便第（3）求解点M的坐标．

满分解答

（1）因为抛物线y＝x2＋bx－3与y轴交于点C(0，－3)，OA＝OC，所以点A的坐标为(－3，0)．

将A (－3，0)代入y＝x2＋bx－3，解得b＝2．因此抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3．（2）由y＝x2＋2x－3＝(x＋1) 2－4，得顶点D的坐标为(－1，－4) ．因为CE // x轴所以点C与点E关于抛物线的对称轴对称．因此CE＝2，DE＝DC．由两点间的距离公式，求得DC＝．于是可得DE2＋DC2＝CE2．

所以△CDE是等腰直角三角形．（3）M1（－1，－2），M2（－1，－6）．

考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

如图2，如图3，因为△MCD与△CDE是同底的两个三角形，如果面积相等，那么过点E作CD的平行线，与抛物线的对称轴的交点就是要探求的点M．再根据对称性，另一个符合条件的点M在点D的下方，这两个点M关于点D对称．

还有更简单的几何说理方法：

因为△CDE是等腰直角三角形，对于点D上方的点M，四边形CDEM是正方形，容易得到点M的坐标为（－1，－2）．再根据对称性，得到另一个点M的坐标为（－1，－6）．

图2图3

5. （2011年上海市松江区中考模拟第24题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；

②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2．

思路点拨

1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．

2．点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上．因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．

满分解答（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E的坐标是（1，0）．

（2）①因为抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（1，0），所以  解得所以二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线x＝3．

②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）．

．

（ⅰ）如图2，当点M位于线段BF上时，．

解方程，得．此时点M的坐标为（3，）．

（ⅱ）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，．

解方程，得．此时点M的坐标为（3，8）．

图2                           图3

考点伸展

对于图2，还有几个典型结论：此时，C、M、A三点在同一条直线上；△CEM的周长最小．可以求得直线AC的解析式为，当x＝3时，．因此点M（3，）在直线AC上．因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以ME＋MC＝MA＋MC．当A、M、C三点共线时，ME＋MC最小，△CEM的周长最小．

6. （2011年南通市中考第28题）如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

动感体验

请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．

思路点拨

1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．

2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．

满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为．

（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．

如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．

由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．

由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．

所以△PMB∽△PNA．

图2                        图3                     图4

（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．

当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．

①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．

解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．

②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．

解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．

考点伸展

在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？

情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．

情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．

不存在∠ANM＝90°的情况．

图5图6