余弦函数的图像与性质 教学设计

【教学目标】

1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.

2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.

3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.

4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.

【知识梳理】

问题1:余弦函数的图像的作法

(1)平移法:

余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向     平移       个单位长度得到(如图). 

(2)五点法:

余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为             . 

问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间

(1)定义域为      ;(2)值域为        ;(3)单调增区间为         ,减区间为             .

问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心

(1)周期T=          ;(2)偶函数;(3)对称轴为              

(4)对称中心为              . 

问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间

(1)当ωx+φ=+kπ时,即           为对称中心;

(2)当ωx+φ=kπ时,即           为对称轴;

(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为      区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为      区间.(注:以上k∈Z)

【典型例题】

要点一余弦函数的图像及应用

例1画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：

    (1)y≥时x的集合；

    (2)－≤y≤时x的集合．

解：用“五点法”作出y＝cos x的简图

(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为.

当x∈R时，若y≥，

则x的集合为

(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z点和，k∈Z，)，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时x的集合为：

.

规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．

跟踪演练1　求函数f(x)＝lg cos x＋的定义域．

解　由题意，x满足不等式组，即，作出y＝cos x的图像．

结合图像可得：

x∈∪∪.

要点二：余弦函数单调性的应用

例2求函数y＝log   (cos 2x)的增区间．

    解：由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减．

    ∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.

    ∴kπ    ∴y＝log (cos 2x)的增区间为，k∈Z.

规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．

跟踪演练2：比较下列各组数的大小．

(1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos与cos.

解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，

cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.

∵180°>139°>136°>0°，

∴cos 139°cos 221°.

(2)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，

cos＝cosπ＝cos＝cos.

∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上递减，

∴cosπ要点三：余弦函数值域(最值)

例3：求下列函数的值域．

    (1)y＝－cos2x＋cos x；(2)y＝.

    解：(1)y＝－2＋.

    ∵－1≤cos x≤1，

    ∴当cos x＝时，ymax＝.

    当cos x＝－1时，ymin＝－2.

    ∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.

(2)y＝＝－1.

∵－1≤sin x≤1，∴1≤2＋sin x≤3，

∴≤≤1，

∴≤≤4，

∴≤－1≤3，即≤y≤3.

∴函数y＝的值域为.

规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：

①sin x，cos x的有界性；②sin x，cos x的单调性；③化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)

利用|f(y)|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．

跟踪演练3求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．(提示：sin2α＋cos2α＝1)

解：y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.

∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；

当sin x＝－1时，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.

所以ymax＝4，此时x的取值集合是

；

ymin＝－4，此时x的取值集合是.

一、选择题

1．函数y＝cosx(0≤x≤)的值域是(　　)

A．[－1,1]　    B．[，1]

C．[0，]　    D．[－1,0]

[答案]　B

[解析]　∵函数y＝cosx在[0，]上是减函数，

∴函数的值域为[cos，cos0]，即[，1]．

2．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为(　　)

A．2　    B．0

C．－　    D．6

[答案]　B

[解析]　y＝2－，当cosx＝1时，y最小＝0.

3．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图像为(　　)

[答案]　D

[解析]　y＝cosx＋|cosx|

＝，故选D.

4．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内(　　)

A．没有根　    B．有且仅有一个根

C．有且仅有两个根　    D．有无穷多个根

[答案]　C

[解析]　在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cosx的图像，如图所示．

发现有2个交点，所以方程|x|＝cosx有2个根．

5．已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列命题正确的是(　　)

A．f(x)是周期为1的奇函数

B．f(x)是周期为2的偶函数

C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数

D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数

[答案]　B

[解析]　由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，

再f(x)＝sin(πx－)－1＝－cosπx－1，

∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)．

6．函数y＝的定义域是(　　)

A．R　    

B．{x|x≠2kπ，k∈Z}

C．{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}　    

D．{x|x≠，k∈Z}

[答案]　A

[解析]　要使函数有意义，则需3＋cosx>0，

又因为－1≤cosx≤1，显然3＋cosx>0，所以x∈R.

二、填空题

7．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是______________．

[答案]　(－π，0]

[解析]　∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，

∴只有－π8．比较大小：cos________cos(－π)．

[答案]　>

[解析]　cos＝cos＝－cosπ，cos＝cos＝－cos，由y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，所以cosπcos.

三、解答题

9．若函数f(x)＝a－bsinx的最大值为，最小值为－，求函数y＝1－acosbx的最值和周期．

[解析]　(1)当b>0时，若sinx＝－1，f(x)max＝；

若sinx＝1，f(x)min＝－，

即解得

此时b＝1>0符合题意，所以y＝1－cosx.

(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值，最小值－矛盾，故b＝0不成立．

(3)当b<0时，显然有

解得符合题意．

所以y＝1－cos(－x)＝1－cosx.

综上可知，函数y＝1－cosx的最大值为，最小值为，周期为2π.

一、选择题

1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是(　　)

A．cos0B．cos0C．cos0>cos>cos1>cos30°>cosπ

D．cos0>cos>cos30°>cos1>cosπ

[答案]　D

[解析]　在[0，]上，0<<<1，又余弦函数在[0，]上是减少的，所以cos0>cos>cos>cos1>0.

又cosπ<0，所以cos0>cos>cos>cos1>cosπ.

2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是(　　)

[答案]　D

[解析]　由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝，则f()＝－cos＝－<0.故答案选D.

二、填空题

3．若cosx＝，且x∈R，则m的取值范围是________．

[答案]　(－∞，－3]∪

[解析]　∵＝|cosx|≤1，

∴|2m－1|≤|3m＋2|.

∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.∴m≤－3，或m≥－.

∴m∈(－∞，－3]∪.

4．设f(x)的定义域为R，最小正周期为.若f(x)＝则f＝________.

[答案]　

[解析]　∵T＝，∴kT＝k·(k∈Z)都是y＝f(x)的周期，

∴f＝f＝f

＝sin＝sin＝.

三、解答题

5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－)与cos(－)的大小．

[分析]　利用诱导公式化为[0，π]上的余弦值，再比较大小．

[解析]　cos(－)＝cos＝cos，

cos(－)＝cos＝cos.

因为0<<<π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，所以cos>cos，

即cos(－)6．求下列函数的定义域．

(1)y＝；

(2)y＝＋lg(2sinx－1)．

[解析]　(1)要使y＝有意义，需有cos(sinx)≥0，

又∵－1≤sinx≤1，而y＝cosx在[－1,1]上满足cosx>0，

∴x∈R.

∴y＝的定义域为R.

(2)要使函数有意义，只要

即

由下图可得

cosx≤的解集为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．sinx>的解集为{x|＋2kπ7．函数f(x)＝－＋acosx－cos2x(0≤x≤)的最大值为2，求实数a的值．

[解析]　令t＝cosx，由0≤x≤，知0≤cosx≤1，即t∈[0,1]．所以原函数可以转化为y＝－t2＋at＋－＝－2＋＋－，t∈[0,1]．

(1)若≤0，即a≤0时，当t＝0时，

ymax＝－＝2，解得a＝－6.

(2)若0<<1，即0ymax＝＋－＝2，解得a＝3或a＝－2，全舍去．

(3)若≥1，即a≥2时，当t＝1时，

ymax＝－1＋a＋－＝2，解得a＝.

综上所述，可知a＝－6或.