6二次函数与平行四边形综合

例题精讲

一、二次函数与平行四边形综合

【例1】已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、轴的交点分 别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点

（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线段上一点，直接写出的取值范围.

【例2】如图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且．矩形绕点逆时针旋转得矩形．过点的直线交轴于点，．抛物线过点、、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点．

⑴ 求的值；

⑵ 点位置改变时，的面积和矩形的面积的比值是否改变？说明你的理由．

【例3】如图1，中，，，点在线段上运动，点、分别在线段、上，且使得四边形是矩形．设的长为，矩形的面积为，已知是的函数，其图象是过点的抛物线的一部分（如图2所示）．

（1）求的长；

（2）当为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 

张明：图2中的抛物线过点在图1中表示什么呢？

李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，那么表示当时，的长与矩形面积的对应关系.

赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了.

请根据上述对话，帮他们解答这个问题.

【例4】如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．

（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；

（2）当点运动到与点的距离最小时，试确 定过三点的抛物线的解析式；

（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；

（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．

【例5】如图，已知抛物线：的图象与轴相交于两点，是抛物线上的动点(不与重合)，抛物线与关于轴对称，以为对角线的平行四边形的第四个顶点为．

（1）求的解析式；

（2）求证：点一定在上；

（3）平行四边形能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）

【例6】如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．

（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点(点在点的左侧)，顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．

【例7】如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴、直线于，连结交轴于，直线交轴于．

⑴ 求证：点为线段的中点；

⑵ 求证：四边形为菱形；

⑶ 除点外，直线与抛物线有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由．

【例8】如图，在平面直角坐标系内，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；

（2）将（1）中所求抛物线沿轴平移．

①在题目所给的图中画出沿轴平移后经过原点的抛物线大致图象；

②设沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线相交于点．判断以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；

（3）点是沿轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求点的坐标，使得以四点为顶点的四边形是平行四边形．

【例9】如下右图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．

（1）判断点是否在轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例10】如上左图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且．矩形绕点逆时针旋转得矩形．过点的直线交轴于点，．抛物线过点、、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点．

⑴ 求的值；

⑵ 点位置改变时，的面积和矩形的面积的比值是否改变？说明你的理由．