2021-2022年九年级数学中考模拟试题带解析

数  学  试  题

一、选择题（本题满分36分，每小题3分）

1．﹣2的绝对值是（　　）

A．﹣2    B．2    C．    D．﹣

2．若a﹣b＝1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为（　　）

A．1    B．﹣1    C．2    D．﹣2

3．当地球与火星两颗行星都位于距离太阳最远点，且位于太阳的两边时，两者之间距离最远，大约为401000000千米，将数据401000000用科学记数法表示为（　　）

A．40.1×107    B．4.01×107    C．4.01×108    D．4.01×109

4．一个物体如图1所示，它的俯视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（1，2）    B．（﹣2，1）    C．（﹣1．﹣2）    D．（﹣1，2）

6．下列计算正确的是（　　）

A．a2+b3＝2a5    B．a4÷a＝a4    C．a2•a3＝a6    D．（﹣a2）3＝﹣a6

7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．解分式方程﹣＝1，可知方程的解为（　　）

A．x＝1    B．x＝3    C．x＝    D．无解

9．反比例的数经过点（2，﹣1），则下列说法错误的是（　　）

A．k＝﹣2    

B．函数图象分布在第二、四象限    

C．当x＞0时，y随x的增大而增大    

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

10．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．20°    B．25°    C．40°    D．50°

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（　　）

A．1    B．    C．2    D．

12．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（　　）

A．15°    B．20°    C．25°    D．30°

二、填空题（本题满分16分，每小题4分）

13．4的平方根是 　   　．

14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为　   　．

15．如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为　    　．

16．图7是某沙滩上用石子制成的小房子，观察变化规律，则第5个小房子用了 　   　块石子；第n个小房子用了 　   　块石子．

三、解答题（本题满分68分）

17．（1）计算：．

（2）化简：．

18．海南盛产热带水果，张阿姨分两次购进“妃子笑荔技”、“贵妃芒果”两种水果进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：求“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水果每千克的进价分别是多少元？

（2）等级D所对应的扇形圆心角的度数是 　 　度；

（3）某同学的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 　 　分数段内；

（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

21．已知：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段CD上的一个动点（不与C、D重合），射线AF与DE交于点G，与BC延长线交于点P．

（1）如图1，当F是CD的中点时，求证：①△ADF≌△PCF；②DE⊥AF．

（2）如图2，当DF＝2CF时，连结CG，①求DG的长；②请问△CGP是否为等腰三角形？请说明理由．

22．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．

（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

参

一、选择题（本题满分36分，每小题3分）

1．﹣2的绝对值是（　　）

A．﹣2    B．2    C．    D．﹣

【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．

解：|﹣2|＝2，

故选：B．

2．若a﹣b＝1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为（　　）

A．1    B．﹣1    C．2    D．﹣2

【分析】首先把2a﹣2b﹣1化成2（a﹣b）﹣1；然后把a﹣b＝1代入化简后的算式计算即可．

解：∵a﹣b＝1，

∴2a﹣2b﹣1

＝2（a﹣b）﹣1

＝2×1﹣1

＝2﹣1

＝1．

故选：A．

3．当地球与火星两颗行星都位于距离太阳最远点，且位于太阳的两边时，两者之间距离最远，大约为401000000千米，将数据401000000用科学记数法表示为（　　）

A．40.1×107    B．4.01×107    C．4.01×108    D．4.01×109

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．

解：401000000＝4.01×108．

故选：C．

4．一个物体如图1所示，它的俯视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】找出从几何体的上面看所得到图形即可．

解：这个立体图形的俯视图为一行三个相邻的矩形．

故选：D．

5．点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（1，2）    B．（﹣2，1）    C．（﹣1．﹣2）    D．（﹣1，2）

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．

解：点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2）．

故选：D．

6．下列计算正确的是（　　）

A．a2+b3＝2a5    B．a4÷a＝a4    C．a2•a3＝a6    D．（﹣a2）3＝﹣a6

【分析】根据同底数相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

解：A、a2与b3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、应为a4÷a＝a3，故本选项错误；

C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；

D、（﹣a2）3＝﹣a6，正确．

故选：D．

7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

解：解不等式2x﹣2≤0，得：x≤1，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，

故选：B．

8．解分式方程﹣＝1，可知方程的解为（　　）

A．x＝1    B．x＝3    C．x＝    D．无解

【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．

解：去分母得：

2﹣2x＝x﹣1，

解得：x＝1，

检验：当x＝1时，x﹣1＝0，故此方程无解．

故选：D．

9．反比例的数经过点（2，﹣1），则下列说法错误的是（　　）

A．k＝﹣2    

B．函数图象分布在第二、四象限    

C．当x＞0时，y随x的增大而增大    

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而证得进行分析即可．

解：A、反比例的数经过点（2，﹣1），故k＝2×（﹣10＝﹣2，说法正确，不符合题意；

B、k＝﹣2＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，说法正确，不符合题意；

C、k＝﹣2＜0，其在每一象限内y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；

D、k＝﹣2＜0，其在每一象限内y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；

故选：D．

10．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．20°    B．25°    C．40°    D．50°

【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．

解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO＝90°，

∵∠P＝40°，

∴∠AOP＝50°，

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB，

∵∠AOP＝∠B+∠OAB，

∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．

故选：B．

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（　　）

A．1    B．    C．2    D．

【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．

解：由作法得AG平分∠BAC，

∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，

所以△ACG的面积＝×4×1＝2．

故选：C．

12．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（　　）

A．15°    B．20°    C．25°    D．30°

【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性质可求解．

解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，

∵DE⊥BC，

∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，

∴∠ODE＝∠OED＝20°，

故选：B．

二、填空题（本题满分16分，每小题4分）

13．4的平方根是 　±2　．

【分析】根据平方根的定义，求非负数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

解：∵（±2）2＝4，

∴4的平方根是±2．

故答案为：±2．

14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为　20　．

【分析】根据M是边AD的中点，得AM＝DM＝6，根据勾股定理得出BM＝CM＝10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM＝FM＝5，再根据N是边BC的中点，得出EM＝FN，EN＝FM，从而得出四边形EN，FM的周长．

解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB＝8，AD＝12，

∴AM＝DM＝6，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴BM＝CM＝10，

∵E、F分别是线段BM、CM的中点，

∴EM＝FM＝5，

∴EN，FN都是△BCM的中位线，

∴EN＝FN＝5，

∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5＝20，

故答案为20．

15．如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为　90°　．

【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E＝∠EDC＝120°，

∵EF＝DE，

∴∠EDF＝∠EFD＝30°，

∴∠FDC＝90°，

故答案为：90°

16．图7是某沙滩上用石子制成的小房子，观察变化规律，则第5个小房子用了 　45　块石子；第n个小房子用了 　1+2（n﹣1）+（1+n）2　块石子．

【分析】根据所给的图形中石子的数，分析得出第n个小房子用的石子的数，即可求解．

解：∵第1个图中石子的块数为：5＝1+22＝1+2×（1﹣1）+（1+1）2；

第2个图中石子的块数为：12＝1+2+32＝1+2×（2﹣1）+（1+2）2；

第3个图中石子的块数为：21＝1+2+2+42＝1+2×（3﹣1）+（1+3）2；

第4个图中石子的块数为：32＝1+2+2+2+52＝1+2×（4﹣1）+（1+4）2；

..．

∴第n个图中石子的块数为：1+2（n﹣1）+（1+n）2；

∴第5个小房子的石子数为：1+2×（5﹣1）+（1+5）2＝45．

故答案为：45；1+2（n﹣1）+（1+n）2．

三、解答题（本题满分68分）

17．（1）计算：．

（2）化简：．

【分析】（1）根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义即可求出答案．

（2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．

解：（1）原式＝﹣4×2﹣3+9+1

＝﹣8﹣3+9+1

＝﹣1．

（2）原式＝•

＝．

18．海南盛产热带水果，张阿姨分两次购进“妃子笑荔技”、“贵妃芒果”两种水果进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：求“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水果每千克的进价分别是多少元？

解：设“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水果每千克的进价分别是x元，y元，

由题意可得，，

解得，

∴“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水果每千克的进价分别是20元，5元．

19．为了庆祝中国党国成立100周年，某市决定开展”党在我心中”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．根据图表，解答下列问题：

（2）等级D所对应的扇形圆心角的度数是 　126　度；

（3）某同学的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 　84.5～.5　分数段内；

（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）根据频率＝频数÷总数及频率之和为1求解可得；

（2）根据所求结果即可补全图形；

（3）根据中位数的概念求解可得；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

解：（1）a＝40×0.2＝8，n＝1﹣（0.05+0.2+0.3+0.1）＝0.35，

故答案为：8，0.35；

（2）等级D所对应的扇形圆心角的度数是360°×0.35＝126°，

故答案为：126；

（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～.5，

∴猜测他的成绩落在分数段84.5～.5内，

故答案为：84.5～.5．

（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．

恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．

20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

【分析】过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，首先求出DF的长，进而可求出DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形CNB中可求出BN的长，利用AB＝AH﹣BN计算即可．

解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，

∵坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：，

∴EF＝10米，DF＝10米，

∵DH＝DF+EC+CN＝（10+30）米，∠ADH＝30°，

∴AH＝×DH＝（10+10）米，

∴AN＝AH+EF＝（20+10）米，

∵∠BCN＝45°，

∴CN＝BN＝20米，

∴AB＝AN﹣BN＝10≈17米，

答：条幅的长度是17米．

21．已知：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段CD上的一个动点（不与C、D重合），射线AF与DE交于点G，与BC延长线交于点P．

（1）如图1，当F是CD的中点时，求证：①△ADF≌△PCF；②DE⊥AF．

（2）如图2，当DF＝2CF时，连结CG，①求DG的长；②请问△CGP是否为等腰三角形？请说明理由．

【分析】（1）①根据ASA证明三角形全等即可．

②证明△ADF≌△DCE（SAS），推出∠DAF＝∠CDE，由∠CDE+∠ADG＝90°，推出∠DAF+∠ADG＝90°，可得∠AGD＝90°．

（2）①通过计算证明PE＝AD＝6，由AD∥PE，推出＝＝1，推出DG＝EG，利用勾股定理求出DE，可得结论．

②结论：△PCG不是等腰三角形．通过计算证明即可．

【解答】（1）证明：①如图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝∠BCD＝∠PCF＝90°，

∵F是CD的中点，

∴DF＝CF，

在△ADF和△PCF中，

，

∴△ADF≌△PCF（ASA）．

②如图1中，∵E是BC的中点，

∴BE＝EC，

∵CB＝CD，DF＝CF，

∴DF＝CE，

∵∠ADF＝∠DCE＝90°，AD＝DC，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠DAF＝∠CDE，

∵∠CDE+∠ADG＝90°，

∴∠DAF+∠ADG＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∴DE⊥AF．

（2）解：①如图2中，∵AD∥CP，

∴＝，

∴＝2，

∴CP＝3，

∵BE＝EC＝3，

∴PE＝6＝AD，

∵AD∥PE，

∴＝＝1，

∴DG＝EG，

在Rt△DCE中，DE＝＝＝3，

∴DG＝．

②结论：△PCG不是等腰三角形．

理由：∵∠DCE＝90°，DG＝EG，

∴CG＝DE＝，

∵CP＝3，

∴CG≠CP，

∵∠PCG是钝角，

∴△PCG不是等腰三角形．

22．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．

（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

【分析】（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，即可求解；

（2）S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，即可求解；

（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，

将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，

则点B（3，5），

将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；

（2）存在，理由：

二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），

过点D作y轴的平行线交AB于点H，

设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），

∵S△DAC＝2S△DCM，

则S△DAC＝DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，

解得：x＝﹣1或5（舍去5），

故点D（﹣1，5）；

（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，

①当AM是平行四边形的一条边时，

点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，

同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，

即：m﹣4＝s，﹣16＝t，而t＝﹣s2+2s+8，

解得：s＝6或﹣4，

故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；

②当AM是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，

解得：s＝1，

故点P（1，2）或（1﹣，2）；

综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．