模拟卷03-2023年高三数学新高考全真模拟试卷(云南,安徽,黑龙江,山西...

（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）

数学（新高考卷）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知集合，则（    ）

A．    B．    D．

【答案】C

【详解】，，，

所以．

故选：C

2．已知复数z满足，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【详解】因，则，有 

所以.

故选：A

3．已知向量，，设，的夹角为，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【详解】因为，，所以，，，

又，的夹角为，所以，

所以．

故选：D．

4．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【详解】如图 是棱长为6cm的正四面体，

由题意， ，设BC的中点为M，底面 的重心为G，O为外接球的球心，

则有 底面BCD， ，  ，

 ，R是外接球半径，

在 中， ，

在 中， ， ，解得 ，

即正方体的最短棱长为 ；

故选：A.

5．将3个1和4个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【详解】先考虑总情况，7个位置选3个放1，有种，再考虑任意两个1都不相邻的情况，将3个1插入4个0形成的5个空中，有种，则概率为，

故选：C.

6．已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）．

A．2    B．    C．5    D．8

【答案】C

【详解】函数，由可知函数图像的一个对称中心为，

所以有，解得，

由，当时，有最小值5.

故选：C

7．已知，则这三个数的大小关系为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【详解】令，则，

由，解得，由，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

因为，

所以，即，

所以，所以，

又递增，

所以，即；

，

在同一坐标系中作出与的图象，如图：

由图象可知在中恒有，

又，所以，

又在上单调递增，且

所以，即；

综上可知：，

故选：A

8．某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可．

【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、，

如图，设为过圆锥顶点的截面，

因为底面，，

因为，为的中点，所以，

由题意可知：，，

设，，则，，

所以，

，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为．

故选：A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．分别是正方体的棱的中点，则（    ）

A．平面    B．

C．直线与直线相交    D．与平面所成的角大小是

【答案】ABD

【分析】对A，根据，判断即可；对B，根据，判断即可；对C，根据不在平面内判断即可；对D，转化为与平面所成的角判断即可.

【详解】对A，因为正方体中且，故四边形为平行四边形，故.

又由中位线性质可得，且平面，平面，故平面.故平面，故A正确；

对B，由A同理可得，，故成立，故B正确；

对C，易得所在的平面为，显然不在平面内，故直线与直线异面，故C错误；

对D，由B，与平面所成的角即与平面所成的角，即，易得为，故D正确；

故选：ABD

10．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．曲线在处的切线方程为

B．的单调递减区间为

C．的极大值为

D．方程有两个不同的解

【答案】ABC

【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可，对于B，对函数求导后，由导数小于零可求得结果，对于C，求导后求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值，对于D，画出的图象，利用图象求解.

【详解】因为，，

所以，

对于A，，则在处的切线方程为，所以A正确；

对于B，令，解得，所以的单调递减区间为，所以B正确；

对于C，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，所以C正确；

对于D，由D的解析知在上单调递增，在上单调递减，且，

当时，，当时，，

所以画出的图象，如图，

方程解的个数，即的图象与的交点个数，

由图知只有一个解，所以D错误．

故选：ABC．

11．抛物线，点在其准线上，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（    ）

A．

B．有可能是钝角

C．当直线的斜率为时，与面积之比为3

D．当直线与抛物线只有一个公共点时，

【答案】ACD

【分析】对于A，利用抛物线的准线方程即可求解；对于B,对直线的斜率存在和不存在时进行分类讨论，得到，计算即可判断；对于C，可得到，通过计算出即可判断；对于D，设直线的方程为，与抛物线进行联立可得，通过题意可得到，可计算出的坐标即可判断

【详解】解：对于A，由抛物线可得准线方程为，

又点在其准线上，所以，解得，故A正确；

对于B，由A选项可得，且焦点，

当直线的斜率存在时，设直线，，

则整理得，

所以，，

因为

所以

，

所以，因为，所以为锐角；

当直线的斜率不存在时，直线，

所以将代入抛物线可得，则，

则，所以，此时为直角，故B错误；

对于C，，，

所以，

所以当时，，，解得，

所以，故C正确；

对于D，易得直线的斜率存在，设直线的方程为，

所以由得到①，

因为直线与抛物线只有一个公共点，

所以，解得，

又因为点在第一象限，所以，则，

①可变成，解得，故

由B选项可得此时，所以，故D正确；

故选：ACD

12．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】ACD

【分析】由题知，，进而得，可判断A；再对求导可得，进而得为周期函数，周期为，进而可得，可判断BD；再根据得，进而得时，可判断C..

【详解】解：因为若，为奇函数，

所以，

令得，，即，，A选项正确；

所以，，即，

所以，函数关于对称，对称，

所以，，即

所以，，

所以，，即函数为周期函数，周期为，

所以，，，故D选项正确，B选项错误；

对于C选项，由可得，其中为常数，

所以，所以，

故令得，即，故C选项正确.

故选：ACD.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．的展开式中的系数为______．

【答案】-36

【分析】根据给定条件，把式子变形成两个二项式相乘，再利用二项式定理求解作答.

【详解】因，因此的展开式含的项是展开式的x一次项与展开式的常数项的积，

加上展开式的x一次项与展开式的常数项的积的和，即，

所以的展开式中的系数为.

故答案为：

14．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.

【答案】或或

【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.

【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，

圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，

易得切线的方程为，

因为，且，所以，设，即，

则到的距离，解得（舍去）或，所以，

可知和关于对称，联立，解得在上，

在上任取一点，设其关于的对称点为，

则，解得，

则，所以直线，即，

综上，切线方程为或或.

故答案为：或或.

15．已知函数在处取得极值0，则______．

【答案】11

【分析】求出导函数，然后由极值点和极值求出参数值即可得，注意检验符合极值点的定义．

【详解】，则，即，解得或

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，

令，得或；令，得．

所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．

故答案为：11．

16．已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在以为直径的圆上．线段与轴交于点，，则椭圆的长轴长为_____．

【答案】

【分析】由已知条件可得，，进而可得，可得，求出的值，再由离心率求出，即可得到答案．

【详解】由题意得，

点在以为直径的圆上，则，

因为，，

所以，所以，

所以，可得，

又，所以，

所以椭圆的长轴长为．

故答案为：．

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．设数列的前项和为，且满足

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)(2)

【分析】(1) 型的数列，利用公式来解决.

(2) ，等差数列与等比数列的积数列的求和，用错位相减法．

【详解】（1）因为，

当时，，解得

当，时，，

所以，得

即，可知数列是首项为1，公比为5的等比数列，

所以

（2）由（1）可知，所以，所以，

所以，

则，

两式相减，可得.

，

化简得

18．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求A；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)(2)

【分析】由正弦定理边化角再根据角度范围得角得大小；

根据锐角三角形得角得范围，然后将转化为关于角的正弦型三角函数，根据正弦型函数性质从而可得取值范围.

【详解】（1）解：因为，由正弦定理得：，

又因为锐角中，，所以，

则，即，故；

（2）解：由（1）得，，所以，

又因为锐角中得：，所以，

所以，

因为，所以，所以，

即的取值范围为.

19．如图，多面体中，是菱形，，平面，，且

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)

【分析】（1）利用平面，易得，再利用菱形性质得到，则可证明平面，则平面平面.

（2）取中点为，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，再计算出相关平面的法向量，即可求出二面角的余弦值，则得到其正弦值.

【详解】（1）证明：如图所示，设与的交点为，

因为平面且平面，所以，

又因为是菱形，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面

又因为平面，所以平面平面

（2）取的中点，连接，,，

为等边三角形， ，

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则由题意得，,,又,

则，，，

，，，

设平面的法向量为，则，即

取，

设平面的法向量为，则，即

取，

设二面角的平面角为，则，

所以二面角的正弦值为

20．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用x表示注射疫苗后的天数，y表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示.

(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；

(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取3天的数据作进一步的分析，求其中的y值小于50的天数X的分布列及数学期望.

参考数据：其中.

【答案】(1)更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型

(2)，该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为miu/mL

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据散点图与方程的性质，可得答案；

（2）根据求回归直线方程的公式，将（1）中的回顾方程，整理，可得答案；

（3）根据题意，按照离散型分布列的步骤，写出分布列，利用均值公式，可得答案.

（1）

根据散点图判断，更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型.

理由：方程表示的是直线，而方程表示的是曲线，散点图表示的是曲线.

（2）

，，

设，则有，

，，

，所以y关于x的回归方程为.

当时，，

则该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为miu/mL.

（3）

由表中数据可知，前三天的值小于50，故的可能取值为0，1，2，3.

，，，，

故的分布列为

21．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．

(1)求C的方程；

(2)求证：为定值，并求出该定值．

【答案】(1)(2)证明见解析，90°

【分析】（1）由题意可得的方程组，从而得到结果；

（2）设，得到直线和直线的方程，解出M，N两点坐标，可知，从而得到定值.

（1）

由题意知，则．当轴时，，

故的面积，解得，

故C的方程为．

（2）

由（1）得，设，

则直线，令，得；

直线，令得．

故，

因为，故，

又，则．

因此，

故，即．

22．已知函数．

(1)若是的一个极值点，求的极值；

(2)设的极大值为，且有零点，求证：．

【分析】（1）根据极值点定义可知，从而解得；求导后，令，利用导数可求得单调性，结合可得的正负，进而得到单调性，由极值点定义可确定极值点，代入可得极值；

（2）求得后，令，利用导数可求得的单调性，结合零点存在定理可知有唯一零点；根据正负可确定正负，由此可得单调性，从而确定的极大值；根据方程有解可得不等式，整理可得结论.

（1）

，，解得：；

当时，，；

令，则，

在上单调递减，又，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

的极大值为，无极小值.

（2）

；

令，则，

令得：，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

当时，，；

，，

，使得，即；

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

的极大值，即最大值为，

有零点，有解，即有解，

，又，.