球差分布公式

实际上该球差是由两部分组成，一部分是该折射面本身所产生的球差，以表示，另一部分是折射面物方球差乘以该面的转面倍率而得。可用下式表示折射面的象方球差    

                                               (9-3)

17年克尔伯(T.Kerber)考虑了远轴光的影响，采用了下式表示的转面倍率

代入式(9-3)，得

或写为

                       (9-4)

令

                                       (9-5)

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则有

把三角光路计算公式中的和相应的近轴光公式乘以代入上式，得

          (9-6)

设符号   

                                       (9-7)

则得 

                                                 (9-8)

此式称为克尔伯公式，在计算中是比较方便的。而且其中的近轴光线和实际光线不一定要由同一物点发出，也可以由光轴上任意两点发出，只要它们通过同一光学系统，上式就成立。该公式大其它象差分布公式的推导中也是有用的，所以这个公式具有普遍意义。

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根据式(9-4)和式(9-5)可得单个折射球面的球差表示式为

把上式用于个折射面的光学系统的每个面，得

对于一个光学系统，上式转面倍率中的因子有以下关系：

另外，有

经过化简可得整个系统的球差表示式

或写为

                      (9-9)

式(9-9)就是球差分布公式，当实际物体成象时，，则折射面的值的乘积即为该折射面以光学系统总球差值的贡献量，所以称为球差分布系数，其数值大小也表征了该面所产生球差的大小。称为光学系统的球差系数，它表征了系统的球差。

单个折射球面的球差分布系数，不晕点：

为便于分析折射球面球差分布系数的特性，即确定折射面的无球差点的位置和球差正负号等，而把球差分布系数写成便于分析的形式。在式(9-6)的推导过程中有

=

=

=

最后得

              (9-10)

通过上式可以看出单个折射球面的球差与间的关系。

由上式可导出单个折射球面在以下三种情况时球差为零：

第一种情况，，由三角光路计算公式可知，此时必为零，即物点、象点均与球面顶点重合。

第二种情况，，这只能在的条件下才能满足。相当于光线和球面法线相重合，物点和象点均与球面中心相重合，即。

第三种情况，或。此时，相应的物点位置易于由式(2-1)求出，即

由于，故得物点位置为

                          (9-11)

又由式，得，可由式(2-4)得

故得相应象点位置

                                               (9-12)

由以上这对无球差共轭点位置和可知，它们都在球心的同一侧，或者是实物成虚象，或者是虚物成实像，如图9-5所示。

由式(9-11)和式(9-12)可得该对无球差共轭点位置间的简单关系

                                                    (9-13)

再因为，得

                                       (9-14)

此式表明，这一对共轭点不管孔径角多大，比值和始终保持常数，故不产生球差、这一对共轭点称为不晕点(或齐明点)。