(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

一.基本不等式

公式：，常用 

升级版： 

选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版

二．考试题型

【题型1】　基本不等式求最值

求最值使用原则：一正 二定 三相等

一正：  指的是注意范围为正数。

二定：  指的是是定值为常数

三相等：指的是取到最值时

典型例题：

例1 .求的值域

分析：范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）

解：   

 得到

例2 .求的值域

解： （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值）

， 即

例3.求的值域

分析：的范围是，不能用基本不等式，当取到最小值时，的值是，但不在范围内

解：令

 是对钩函数，利用图像可知：

在上是单减函数，所以，（注：是将代入得到）

注意：使用基本不等式时，注意取到最值，有没有在范围内，

如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

例4．求的值域

分析：先换元，令，其中

解：

总之：形如的函数，一般可通过换元法等价变形化为型函数，要注意t的取值范围；

【失误与防范】

1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．

3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

【题型2】　条件是或为定值，求最值（值域）（简）

例5．若且，则的最大值是________．

解析：由于，则，所以，则的最大值为

例6．已知为正实数，且满足，则的最大值为________．

解析：∴，当且仅当即时，取得最大值.

例7．已知，且，则的最小值为________．

解析：，，当且仅当时，等号成立．

总结：此种题型：和定积最大，积定和最小

【题型3】　条件是或为定值，求最值（范围）（难）

方法：将整体代入

例8.已知且，则的最小值是________________

解析：

所以最小值是

例9. 已知，，则的最小值是________．

解析：

则

所以最小值是

例10.已知，且求的最小值是____________

解析：

则

从而最小值为9

  【题型4】　已知与关系式，求取值范围

例11. 若正数满足，求及的取值范围．

解析：把与看成两个未知数，先要用基本不等式消元

解：求的范围     （需要消去：孤立条件的将替换）

      ，

（消结束，下面把看成整体，换元，求范围）

      令，则变成

     解得或（舍去），从而

求的范围    （需要消去：孤立条件的       将替换）

   ，     

 （消结束，下面把看成整体，换元，求范围）

令

则有，，，得到或（舍去）

得到