平面向量的数量积练习题[

一、选择题

1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)

A．4　　　　　　　　　　　               B．3

C．2                                         D．0

解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，

则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.

答案：D

2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　　)

A．0                                         

解析  ∵a·c＝a·

＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，

又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.

答案　D

3. 设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （      ）

A             B               C .0             

解析 正确的是C.

答案C

4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)．

A．－4              B．4                  C．－2              D．2

解析　设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos θ＝＝－，

∴|a|cos θ＝6×＝－4.

答案　A

5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)．

－1              B．1                                    D．2

解析　由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，

故|a＋b－c|≤1.

答案　B

6．已知非零向量a、b满足|a|＝|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是(　　) 

解析　∵f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不相等的实根，∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b＞0，即a·b＜|a|2，∵cos〈a，b〉＝，|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＜＝，∵0≤〈a，b〉≤π，

∴＜〈a，b〉≤π.

答案　D

7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)．

·

·

·

·

解析　由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，

故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，

则·＝||||cos 30°＝a2，·＝||||cos 60°＝a2.

答案　A

二、填空题

8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．

解析  ∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.

答案 

9.已知向量, ，若，则的值为    ． 

解析 

答案 

10．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

解析　设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得

(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|2＋(k－1)|a||b|cos θ－|b|2＝0，(k－1)(1＋cos θ)＝0.

又1＋cos θ≠0，∴k－1＝0，k＝1.

答案　1

11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．

解析　由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0, 化简可求得k＝.

答案　

12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．

解析：||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，(＋)·＝2·＝||2＝4.

答案：4

三、解答题

13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．

(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；

(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；

(3)求向量a在b方向上的投影．

解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，

∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．

∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0.

(2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，

由于a＋λb与a垂直，

∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.

(3)设向量a与b的夹角为θ，

向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.

∴|a|cos θ＝＝＝－＝－.

14．如图所示，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．

(1)若∥，求x与y之间的关系式；

(2)在(1)条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．

解析　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝－＝(－x－4,2－y)．

又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，

即x＋2y＝0.①

(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，又⊥，∴·＝0.

即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，②

联立①②化简，得y2－2y－3＝0，

∴y＝3或y＝－1.

故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)，

∴SABCD＝||·||＝16；

当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，

∴SABCD＝||·||＝16.

15．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．

解析　由题意知△ABC为直角三角形，⊥，

∴·＝0，cos∠BAC＝，

cos∠BCA＝，

∴和夹角的余弦值为－，

和夹角的余弦值为－，

∴·＋·＋·

＝20×＋15×＝－25.

16．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t  e1＋7e2与向量e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

思路分析　转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0

且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．

解析　由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.

∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.

欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0.

得－7＜t＜－.

设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜0)．

∴∴2t2＝7.

∴t＝－，此时λ＝－.

即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.

∴夹角为钝角时，t的取值范围是

∪