08级泛函分析习题参(3)

一、设是内积空间中点列，若，并且对于一切，有，试证：。

证明：由以及、

、，可得，即。

二、设是维线性空间，是的一组基，试证：成为上内积的充要条件是存在阶正定方阵，使得

。

必要性证明：设 ，则由，得，，并且。令，则，并且对任何，。由内积的正定性可知，仅当，即时，。因而为阶正定矩阵。

充分性证明：对于任何，设，则，从而

（1）；

（2）,其中；

（3）。

因此构成上的内积。

三、设为内积空间，，满足，试证：线性无关。

证明：考察，两端同时与作内积得， 

，即。

因而线性无关。

四、设是空间，，，试证：是中包含的最小闭子空间。

证明：显然，为中包含的闭子空间。

设为中包含的任意闭子空间，则为完备的子空间，并且。

下证：，从而。

任取，由正交分解定理可知，，。

两边与作内积得，。

由，可得，，即，，因此。

（或：由可知，，即，因此。）

由此可知，。

综上所述，是中包含的最小闭子空间。

五、试证：数域上内积空间中向量垂直的充要条件是对一切数，成立。

充分性证明：由，可得，即

。取，代入上式后得到，，从而。显然时，。因此。

必要性证明：由，即，可得，即。由此可得，即。

六、设为内积空间中的规范正交系，试证：到的投影算子为

，。

证明：设，则为中完备子空间。

由题意知，对于任何，，其中，，从而。

设，由可得，，。

由此可知，，。

七、设是可分的空间，试证：中任何规范正交系至多为可数集。

证明：显然是有限维的线性空间时，其任何规范正交系必为一线性无关的向量组，因而一定是一个有限集。

若不是有限维的线性空间，则由的可分性与完备性可知，存在可列的完全规范正交系。对于中任何规范正交系，作集合

，，则至多是可列集（由不等式，可知至多是一个有限集），，并且。对于中任何向量，若，则必有，。由的完全性可知，必有，这与矛盾。因此必有，从而。由此可知，规范正交系至多为可数集。

八、设是空间上的有界线性算子，，试证：

。

证明：设，则，即

。取，得到，从而。由此可得，从而，即；

同样，时，由，可得，即。从而

。

九、设均为空间中的有界线性算子，若，有

，试证：。

证明：由已知可得，。

取，则，即。因而。