二次函数与三角形的存在性问题

一、预备知识

(1)坐标系中或抛物线上有两个点为A（x1，y），B（x2，y）

线段对称轴是直线 ：                    

(2) 两点之间距离公式：已知两点，

  则由勾股定理可得： 

练一练：已知A（0，5）和B（－2，3），则AB＝           。

中点公式：已知两点，则线段PQ的中点M为。

练一练：已知A（0，5）和B（－2，3），则线段AB的中点坐标是              

（3）平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1      L2：y=k2x+b2

（1）当k1=k2，b1≠b2  ，L1∥L2

（2）当k1≠k2，  ，L1与L2相交

（3）K1×k2= -1时，  L1与L2垂直

二、常见考察形式

（1）已知A（1,0），B（0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形；

总结： 两圆一线

（2）已知A（-2,0），B（1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C，使△ABC是直角三角形；

总结： 两线一圆

（3）、方法总结：

1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；

3、二次函数中三角形的存在性问题

解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算

三、精讲精练

1.由动点产生的等腰三角形问题

（2012临沂）26如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

2.由动点产生的直角三角形问题

26．（2018临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为

（1，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3.由动点产生的等腰直角三角形  

（13分）（2014•临沂）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．

四、实战演

1. （2018费县一轮）如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.

（1）求抛物线的解析式：

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标.

2.（2016临沂中考）26.（本题满分13分）

如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC.

（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.（13分）（2014•临沂）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．