定积分在几何中的简单应用

高二年级

定积分在几何中的简单应用

教学构思

教材分析

教学目标

【过程与方法】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

【情感、态度与价值观】探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；

【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

教学方法

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.

（二）情景引入：

    展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积

【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用

                  油画图片

问：桥拱的面积如何求解呢？

答：……

【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系。

（三）新课讲授：

【热身训练】练习１．计算  

  ２．计算 

【学生活动】思考口答

【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案. 

【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积

图1                      图2

【学生活动】回忆并口答图1的答案；

引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。

【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型.        

【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.

【课件展示】

图1 选择X为积分变量，曲边梯形面积为

图2 选择Y为积分变量，曲边梯形面积为

【问题探究】

【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路

【学生活动】思考、探究、讨论

【展示结论】

【例题实践】例１．计算由曲线与所围图形的面积．

【师生活动】探究解法的过程.

1.找到图形----画图得到曲边形.

2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.

3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.

4.计算定积分.

【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.

【课件展示】解答过程

解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组得到交点横坐标为

及

曲边梯形OABC曲边梯形OABD

【例题实践】例２．计算由与所围图形的面积.

【师生活动】讨论探究解法的过程

1．找到图形----画图得到曲边形.

2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.

3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.

问题：表示不出定积分.

探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？

4．计算定积分.

【板书】根据师生探究的思路

板书重要分析过程.

【课件展示】解答过程

解：作出草图，所求面积为

图中阴影部分的面积

解方程组得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)

选ｙ为积分变量

【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤

【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳

【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 .

【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：

1．画草图，求出曲线的交点坐标．

2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．

3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）

4．确定被积函数和积分区间．

5．计算定积分，求出面积.

【巩固练习】

练习４．计算由曲线与及轴所围平面图形的面积．

【学生活动】学生分组合作完成

【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家，发现这道题目有多种解答方法，过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。

S2

S1

S1

S22

2

2

4

8

O

x

4

A:  

B:  

C:  

【师生活动】此题为一题多解，解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量.

问：遇到一题多解时，你会想到什么？

答：找最简单的解法.

问：以例２为例，如何寻找最简解法？

答：我们熟悉X做积分变量的类型；

做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形.

【巩固练习】

练习５．计算由曲线与及、

所围平面图形的面积．

【学生活动】学生思考

【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家

【师生活动】

问：正确，此题还有其他解法吗？

答： 所以只算一个S，取2倍就可以了.

【教师点评】做的漂亮，解题时要注意发现题目的特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.

【应用提升】

如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，

宽为常数b．　　　　　　　　　　

求证：抛物线拱的面积

【师生活动】探究解题方法

1.建立平面直角坐标系  确定抛物线方程

　　　2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤

问：如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单

答：以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系.

【学生活动】学生求解抛物线方程.

【成果展示】投影学生练习

如图建立平面直角坐标系，

可设抛物线方程为，

代抛物线上一点入方程，

则有  解得，所以抛物线方程为.

【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习.

【师生活动】探究、并在投影中完成该题

问：所求图形有什么特点？

答：左右对称；可以解答一半取2倍.

【成果展示】在黑板上与学生共同完成

设一半的面积为S，则有  

…

（四）．互动小结

问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？

答：1.画草图，求出曲线的交点坐标．

2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积．

3.根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）

4.确定被积函数和积分区间．

5.计算定积分，求出面积．

问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？

答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.

（五）．作业：（1）课本Ｐ67　Ａ组　1．　Ｐ68　Ｂ组　3．

　（2）高考调研P59--61

为激发学生们的求知欲，设下悬念，为后面作开启性的铺垫。

复习定积分的几何意义

培养学生用发展、联系的哲学思想解决问题

通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法。

完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。

使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。

学生得到了一些解题心得，及时指导学生进行抽象归纳，便是探究的阶段小结，得到解题的一般方法。

趁学生探索欲望高涨的时候，适时给学生准备了巩固练习，目的在于巩固解题方法、由一题多解锻炼学生的发散思维

体现了对称的思想和分类思想，培养学生的观察能力和分析思考问题的严密性，在此过程中进行了数学美育的渗透

把本节课的探究活动推向高潮，解决了前面设下的悬念的同时，实现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。

提问式的课堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。

作业即是探究活动的一种延续。