2014年高考数学(文)难题训练(3)三角函数及三角恒等变换

1.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，10,5分）已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且若则（　　）

A．　　　　　　　 B. 　　　　　　　　C. 　　　　　　　D. 不能确定

2.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，12,5分)设函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数.　现给出下列命题：

①函数为R上的1高调函数；

②函数为R上的高调函数；

③如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是；

④函数为上的2高调函数.

其中真命题的个数为（　）

A．0　　　　　　　　　　　 B．1　　　　 　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　D．3

3. (2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，11,5分)已知是定义在上的奇函数，当时的图像如图，那么不等式的解集是（　　）

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

D．

4.　(2012山东省规范化学校高三11月月考，12,5分)在中，角所对的边分别为且，,若，则的取值范围是（）

A. 　　B. 　　C.　　 D.

5. (2012山东省规范化学校高三11月月考，11,5分)复数()在坐标平面中对应的点分别是,若函数（为坐标原点），则下列命题正确的是（）

A．最大值为2 

B．的图像向左平移个单位后对应的函数是奇函数

C．的周期为 

D．的图像向左平移后对应函数图像关于对称

6.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，8,5分)给出下列的四个式子：①，②，③，④；已知其中至少有两个式子的值与的值相等，则（　 ）

A．

B．

C．

D．

7. (2012北京海淀区高三11月月考，8,5分)已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：

① ②

③ ④

其中所有“好集合”的序号是

A．①②④　　 B．②③ 　　C．③④　　 D．①③④

8. (2012江西省临川一中、师大附中联考，9,5分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且＝(b－c，cosC)，＝(a，cosA)，，则cosA的值等于（　　）

9. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,10，3分)已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有（　）

A．4个　　　　 B．5个　　　　 C．6 个　　　　 D．7个

10. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,9，3分) 直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则（　）

A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　 D. 2

11.(2012河南省毕业班模拟，10,5分)函数（ω＞0），在区间[a，b]上是增函数，且，则函数在[a，b]上(　　)

A．是增函数　　　　B．是减函数　　　　C．可以取得最大值M　　　　 D．可以取得最小值－M

12.（2012江西省南昌市第二次模拟，10,5分）下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数x对应轴上的点M（如图1）：将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在x轴上，点A的坐标为(1,0)（如图3），图3中直线OM的斜率为k，则x的象就是k，记作k=(x).

有下列判断：(1)(x)是奇函数；(2) (x)是存在3个极值点的函数；(3) (x)的值域是；(4) (x)是区间上的增函数.其中正确的是(　)

A、(1)(2)　　　　 B、(1)(3)　　　　 C、(2)(3)　　　　 D、(1)(4)

13. (2012天津十二区县联考，7,5分)设. 若当时，恒成立，则实数M的取值范围是（　 ）

A．　　　　 B.　　　　 C．　　　　 D.

14. 函数f(x) =(0≤x≤2π) 的值域是(　　)

A. 　　　　B. [-1, 0]　　　　C. [-, 0]　　　　D. [-, 0]

15.  如图, l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线, l1与l2间的距离是1, l2与l3间的距离是2, 正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上, 则△ABC的边长是(　　) 

A. 2　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 

16.(2013北京海淀区高三三月模拟题，14,5分) 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.

设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则

（1）函数的最大值是_____；

（2）函数的单调递增区间为________.

17.（2013福建厦门高三一月质量检查，14,5分）已知函数，下列命题正确的是　　　　　　.（写出所有正确命题的序号）

①是奇函数；　　　　　　　　　　　　　 

②对定义域内任意x，<1恒成立； 

③当时，取得极小值；　　　　　　 

④； 

⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解，则.

18.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,17，3分) 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是___.

19.(2012山西大学附中高三十月月考，16,5分)给出以下四个命题：

①已知命题；命题则命题是真命题； 

②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；

③函数在定义域内有且只有一个零点；

④若直线和直线垂直，则角

其中正确命题的序号为______．（把你认为正确的命题序号都填上）

20.（2012江西省联考，14,5分）直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：

①;

②；

③;

④;

其中是一阶格点函数的有_______.

21. (2012北京东城区高三模拟，13,5分) 已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m的值_______.

22. (2012东北三省四市第一次联考，15，5分)在△中，角的对边分别为，已知，且，则△的面积的最大值为________.

23.(2012黑龙江高三模拟，16,5分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acos B-bcos A=c,当tan(A-B)取最大值时,角C的值为　　　　.

24.(2012山东,16,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为　　　　. 

25.(2008江苏, 13, 5分) 满足条件AB=2, AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是　　　　. 

26.(2010课标全国, 16, 5分) 在△ABC中, D为边BC上一点, BD=DC, ∠ADB=120°, AD=2. 若△ADC的面积为3-, 则∠BAC=　　　　. 

27.(2011课标, 16, 5分) 在△ABC中, B=60°, AC=, 则AB+2BC的最大值为　　　　. 

28. (2008辽宁, 16, 4分) 已知f(x) =sin(ω>0) , f=f, 且f(x) 在区间内有最小值, 无最大值, 则ω=　　　　. 

29. (2012山东省规范化学校高三11月月考，21，12分)在中角的对边分别为且，

（1）判断的形状；

（2）求sinA+sinB的取值范围；

（3）若，试确定的取值范围.

30.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，21,14分）已知函数在上为增函数，且，，．

（1）求的值；

（2）当时，求函数的单调区间和极值；

（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

31. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,21,10分）已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有成立.

（Ⅰ）函数是否属于集合M？说明理由；

（Ⅱ）设函数且a≠1）的图像与的图像有公共点，证明：

；

（Ⅲ）若函数,求实数k的值.

32.（2012江西省联考，21,14分）设函数数列满足，.

(1)证明：函数在是增函数；

（2）求证：

（3）若，求证：

33.(2012福建省毕业班质量检测，20，14分)设函数的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到：

（1）将函数的图象向右平移个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

（2）将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）判断方程的实根的个数，证明你的结论；

（Ⅲ）设数列满足，试探究数列的单调性，并加以证明．

34. （2012安徽合肥高三第二次检测，21，13分)已知的三边长动点满足且.

（1）求最小值，并指出此时与的夹角；

（2）是否存在两定点使恒为常数？若存在，指出常数的值，若不存在，说明理由.

35.(2012河南高三第二次联考，21,12分)已知函数f(x)=ax,g(x)=ln x,其中a∈R. 

(Ⅰ)若函数F(x)=f(x)-g(x)有极值1,求a的值;

(Ⅱ)若函数G(x)=f[sin(1-x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数,求a的取值范围;

(Ⅲ)证明:sin

36.  在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域. 点E正北55海里处有一个雷达观测站A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sin θ=, 0°<θ<90°) 且与点A相距10海里的位置C. 

(Ⅰ) 求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ;

(Ⅱ) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由. 

37.  设函数f(x) = . 

(Ⅰ) 求f(x) 的单调区间;

(Ⅱ) 如果对任何x≥0, 都有f(x) ≤ax, 求a的取值范围. 

答案

1.A　  2.D 　  3.B　  4. A   5. D   6. A   7. B   8. C   9. B   10. B   11. C　  12. B 　 13.D 　  14.B　  15. D　 

 16.　　 

 17.②④⑤　　①中，函数的定义域是，且，所以函数是偶函数，所以①不正确；②中，设，则，所以函数是增函数，所以，所以，所以当时，，即，又函数是偶函数，所以当时，，所以，综上所得，对定义域内任意x，<1恒成立，所以②正确；③中，由于，所以，所以不是的极值点，所以③不正确；④中，当时，，所以恒成立，所以函数在区间上是减函数，又,所以，所以④正确；⑤中，当时，，所以关于的方程即有且仅有两个不同的实数解，在同一坐标系中画出函数和函数的图象，如图所示，则这两个图象仅有两个交点，且右边的交点是直线与函数的图象相切的切点，所以是切点，并且切线斜率，所以切线方程是，又点在切线上，所以，即，所以⑤正确.　

 18.，　

19. ①③ 　

 20.

③④

21.2　

 22.　　

 23.　　

 24.(2-sin 2,1-cos 2)　

 25.2 　

 26.60°　　

 27.2　　

28.　　

 29.（1）∵，∴，----1分

由正弦定理，得，∴，

∴，----------2分

又，∴，∴，

∴即，

∴，------------3分

∴△ABC是直角三角形.------------------------------4分

(2)由（1）知，

∴=，---6分

又

，

即的取值范围是.---------------------------8分

(3)∵，∴，

由正弦定理，得，-------------9分

设=，则,

∴，------------------------------------------10分

∴，，

设，，

则恒成立，

∴在上是减函数，

∴的值域是，即，

∴的取值范围为.----------------------------------12分　

 30.（1），

又函数在上为增函数，∴，即恒成立，

∵，∴，∴在上恒成立，

即在上恒成立，

又在的最大值是1，∴，

又，

∴仅有.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

（2）∵，∴，，

　　　　　　　∴，

　　　　　　　令，解得，

令，解得；令，解得.

∴函数的单调递增区间是，单调递减区间为.

　　　　　　　当变化时，、的变化情况如下表：

（3）由（1）知，则，.

令，,

　　　　　　　当时，

，

∵，∴，，

∴恒有，

　　　　　　　∴此时不存在使得，

即此时不存在使得成立；

　　　　　　　当时，，

　　　　　　　又，∴，，

∴在上恒成立，

　　　　　　　∴在上是增函数，

∴，

　　　　　　　又在上至少存在一个，使得成立，即恒成立，

　　∴必有，

∴，解得，

　　　　　　　综上所得，的取值范围为．　　　　　　　　　 ……………………14分

 31.（Ⅰ）当时，

对于非零常数T，,，

又对任意x∈R，不恒成立，

∴函数M. ------（2分）

（Ⅱ）由题意得方程组有解，消去得,

显然x=0不是方程的解，

∴存在非零常数T，使.

∴,

∴.------（5分）

（Ⅲ）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.

当k≠0时，

∵f(x)=sinkx∈M，

∴存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，

即sin(kx+kT)=Tsinkx恒成立.

又k≠0，x∈R，∴kx∈R，（kx+kT）∈R，

∴sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，

∴Tsinkx∈[－T，T],

∴T=，

当T=1时，sin(kx+k)=sinkx恒成立，

则k=2mπ, m∈Z . 

当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx成立，

则－k+π=2mπ, m∈Z ，

即k=－2(m－1) π, m∈Z .

即k=2(m－1) π, m∈Z .

综上所得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}. ------（10分）

 32.（1），

当时，，

∴，

∴函数在上是增函数. ………………………3分

（2）∵，∴，∴.

又，∴，∴.

由（1）知，，

即.

∴成立. ………………………5分

下面用数学归纳法证明成立：

①当n=1时，有成立，即不等式成立.

②假设当时不等式成立，即.

∵恒成立，

∴，

即，

∴当时不等式成立.

由①②可知，.

（3）令，则，

令，

则，

∴，

∴在上是减函数，即在上是减函数，

∴，即.

∴在上是减函数，

∴.

又，∴，

即，

∴，

又，

∴.

∴.

又，

∴当时，

.

∴. ………………………14分　　： 33.(Ⅰ)

，…………………………3分

∴，

∴. …………………………5分

(Ⅱ)方程有且只有一个实根. 理由如下：…………………………6分

由(Ⅰ)知，令,

∵，∴，

又，∴，

所以在上至少有一个实根. …………………………7分

又,

∴函数在R上单调递减,

∴函数在R上有且只有一个零点，

即方程有且只有一个实根. …………………………9分

(Ⅲ)∵，

∴，

∴，

，

又，∴，

∴.

∴猜测,即数列是单调递增数列. …………………………11分

以下用数学归纳法证明且时,成立.

(1)当时,,显然有成立.

(2)假设时,命题成立，即．…………………………12分

则时,，

∵，∴．

又在上是增函数，，

∴，

∴，

∴，

即时,命题成立. …………………………13分

综合(1) ,(2)，且时, 成立. 

∴数列为单调递增数列. …………………………14分

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）(2012福建省毕业班质量检测，21，7分）选修4－2：矩阵与变换

已知向量在矩阵变换下得到的向量是．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求曲线在矩阵对应的线性变换作用下得到的曲线方程．

[解析]考察专题：19；难度：容易

（Ⅰ）∵，∴，

∴，

∴=1．…………………………………………3分

（Ⅱ）∵，∴．…………………………………4分

设曲线上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像是.

则，……………………………………………5分

∴整理得

又点在曲线上，

∴，

∴，整理得．………………………6分

即曲线在矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程为. ………7分

（2）(2012福建省毕业班质量检测，21，7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点到曲线上的点的距离的最小值．

[解析]考察专题：9.1，9.2，17；难度：容易

（Ⅰ）∵点的极坐标为，

∴点的直角坐标为，即，

∴直线的斜率，

∴直线的直角坐标方程为．…………………………………………3分

（Ⅱ）将曲线的参数方程消去参数化为普通方程为，………………5分

则曲线是圆心为半径为的圆．

∴，

∴点M在圆A外，

∴点到圆A上的点的距离最小值为．

即点到曲线上的点的距离最小值为．…………7分

（3）(2012福建省毕业班质量检测，21，7分) 选修4—5：不等式选讲

设实数满足．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）若，且，求的最大值．

[解析]考察专题：18；难度：容易

（Ⅰ）∵，∴，∴．

∴，

∴，解得．

∴的取值范围．…………………………………………4分

（Ⅱ）∵，，

∴，…………………………………6分

当且仅当时，等号成立．

∴的最大值为27．…………………………………………7分　

34.（1）由余弦定理得：，

∴，

∵

∴，

，

当且仅当时，等号成立，

∴最小值为.

此时设与的夹角分别是、，

当时，

∴，

又，∴.

同理可求，此时.

同理可求，当时，.

综上所得，此时与的夹角，与的夹角.

（2）以C为原点，以的平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.

则,

设,则，，

，

∴，

又，

又，消去得.

，

存在两定点使恒为常数，.　

35.(Ⅰ)∵F(x)=ax-ln x(x>0),

∴F'(x)=a-=(x>0). (1分)

①当a≤0时,F'(x)<0,∴F(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值. (2分)

②当a>0时,由F'(x)=0⇒x=,

对x∈,F'(x)<0,∴F(x)在上单调递减;

对x∈,F'(x)>0,∴F(x)在上单调递增. 

∴F(x)在x=处有极小值,即F=1-ln,(3分)

∴1-ln=1⇒a=1,

综上,得a=1. (4分)

(Ⅱ)∵G(x)=asin(1-x)+ln x,

∴G'(x)=-acos(1-x)+. (5分)

∴G(x)=asin(1-x)+ln x在区间(0,1)上为增函数,

∴G'(x)=-acos(1-x)+≥0对x∈(0,1)恒成立. 

∵x∈(0,1),cos(1-x)>0,

∴当a≤0时,显然G'(x)=-acos(1-x)+≥0恒成立;(6分)

当a>0时,则G'(x)=-acos(1-x)+≥0⇔≥xcos(1-x)恒成立. 

设h(x)=xcos(1-x),显然h(x)=xcos(1-x)在(0,1)上单调递增,∴h(x)

由≥1⇒0分)

综上,a的取值范围是(-∞,1]. (8分)

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当a=1时,G(x)=sin(1-x)+ln x在区间(0,1)上为增函数,

∴当x∈(0,1)时,G(x)=sin(1-x)+ln x⇒sin(1-x). (9分)

令1-x=t,则当t∈(0,1)时,sin t成立. 

∵对k∈N+,有∈(0,1),

∴sin=ln. (10分)

∴sin+ln+ln+…+ln

=ln···…·=ln=ln分)

分析:(1)先讨论未知数系数,再讨论根与区间端点的大小;(2)注意x的范围为封闭范围及余弦函数的有界性的应用;(3)注意利用(Ⅱ)问结论. 

失分警示:讨论时层次不清楚,导致无从下手. 　

36.

(Ⅰ) 如图, AB=40, AC=10, ∠BAC=θ, sin θ=. 

由于0°<θ<90°, 

所以cos θ==. 

由余弦定理得

BC==10. 

所以船的行驶速度为=15(海里/小时) . 

(Ⅱ) 解法一:如图所示, 以A为原点建立平面直角坐标系, 

设点B、C的坐标分别是B(x1, y1) , C(x2, y2) , BC与x轴的交点为D. 

由题设有, x1=y1=AB=40, 

x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ) =30, 

y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ) =20. 

所以过点B、C的直线l的斜率k==2, 

直线l的方程为y=2x-40. 

又点E(0, -55) 到直线l的距离d==3<7. 

所以船会进入警戒水域. 

解法二:如图所示, 设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 

在△ABC中, 由余弦定理得cos∠ABC=

==. 

从而sin∠ABC===. 

在△ABQ中, 由正弦定理得, 

AQ===40. 

由于AE=55>40=AQ, 所以点Q位于点A和点E之间, 且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP⊥BC于点P, 则EP为点E到直线BC的距离. 

在Rt△QPE中, PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC

=QE·sin(45°-∠ABC) =15×=3<7. 

所以船会进入警戒水域. 　

 37.(Ⅰ) f '(x) =

=. 

当2kπ-cos x>-, 即f '(x) >0;

当2kπ+cos x<-, 即f '(x) <0. 因此f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是增函数, f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是减函数. 

(Ⅱ) 令g(x) =ax-f(x) , 则g'(x) =a-

=a-+=3+a-. 

故当a≥时, g'(x) ≥0. 又g(0) =0, 

所以当x≥0时, g(x) ≥g(0) =0, 即f(x) ≤ax. 

当0故当x∈[0, arccos 3a) 时, h'(x) >0, 

因此h(x) 在[0, arccos 3a) 上单调增加, 

故当x∈(0, arccos 3a) 时, h(x) >h(0) =0, 即sin x>3ax. 

于是, 当x∈(0, arccos 3a) 时, f(x) =>>ax. 

当a≤0时, 有f=>0≥a·. 

因此, a的取值范围是.