高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)

一、数列的基础知识

    1．数列{an}的通项an与前n项的和Sn的关系

    它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；

    2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

常见类型：

  类型Ⅰ：（一阶递归）

其特例为：（1）  （2）

         （3）

解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

类型Ⅱ：（二阶递归）

解题方法:利用特征方程x2=px+q,求其根α、β,构造an=Aαn+Bβn，代入初始值求得。

类型Ⅲ：an+1=f(an)其中函数f(x)为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

二、等差数列与等比数列

1．定义：

2．通项公式与前n项和公式：

函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？

数列问题的综合性主要表现在

1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．

2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换． 

数列问题的灵活性表现在：

 1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．

 2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系． 

例题讲解

1．已知(b－c)logm x+(c－a)logm y+(a－b)logm z＝0 ①          

 (1) 若a、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证x、y、z成等比数列；

 (2) 若x、y、z依次成等比数列，且公比不为1，求证a、b、c成等差数列． 

2.数列｛an｝的 前 n 项 和Sn＝a · 2n + b（nN），则｛an｝为等比数列的充要条件是________．

3.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S7＝56，Sn＝420，an－3＝34，则n＝________．

4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13

5. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为Sn，若S10=10，S30=70，求S40。

6. 设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an=       .

7．已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1,a2,a3,…,an组成等差数列（n为正偶数），又f(1)=n2,f(-1)=n；

    （1）求数列{an}的通项an；

    （2）试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。

8．在1与2之间插入个正数a1,a2,a3,…,an，使这n+2个正数成等比数列；又在1与2之间插入个正数b1,b2,b3,…,bn，使这n+2个正数成等差数列。记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.

    （1）求数列{An}和{Bn}的通项；

    （2）当n≥7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。

9. 设任意实数x,y满足|x|<1,|y|<1,求证： (第19届莫斯科数学竞赛试题)

10. 从n个数1,a, a2,…, an (a>2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等

11.已知a1=，an=，求数列{an}的通项公式。

12.正整数k，g（k）表示k的最大奇因子（例如g（3）=3，g（20）=5），求g（1）+ g（2）+ g（3）+……..+ g（2n）(其中n∈N*)

13.将数字1，2，3，……..，n填入标号为1，2，3，……，n的n个方格内，每格一个数字，则标号与数字均不相同的填法有多少种？

14.用1，2，3三个数字写n位数，要求数中不出现紧挨着的两个1，问能构成多少个n位数？

15.设数列{an}和{bn}满足a0=1，b0=0，且     （n=0，1，2，……….）

证明：an（n=0，1，2，…..）是完全平方数

16.已知a,b均为正整数,且a>b,sinθ=(其中0<),An=(a2+b2)nsinnθ

求证: 对一切正整数n,均为整数

17.（1）证明：

  （2） 求正整数a, b，c，使得对任意（n>2），有

18. 设A，E为正八边形的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，设青蛙从顶点A恰好跳n次后到E的方法数为an，求an

19. 

使得：（1）a1=1（2）|ai-ai+1|≤2（i=1,2,……,n-1）.确定f (1996)是否能被3整除

课后练习

1设数列a1,a2,….,an,….满足a1a21,a32，且对任何自然数n, 都有anan+1an+2 1，又anan+1an+2an+3an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+….+a100的值是____

2设正数列a0,a1,a2, ,an, 满足(n≥2)且a0=a1=1．求{an}的通项公式．

3已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是(   )

   (A)5     (B)6       (C)7       (D)8

4设等差数列满足且,Sn为其前项之和，则Sn中最大的是(    )

   (A)      (B)       (C)      (D)

5等比数列的首项,公比,用表示它的前n项之积。则最大的是(     )

(A)     (B)     (C)     (D) 

6设数列{an}的前项和Sn=2an  1(n=1,2,3,….)，数列{bn}满足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3….).求数列{bn}的前n项和.

7已知数列{}满足(n≥2)，x1a, x2b, 记Snx1+x2+…+xn，则下列结论正确的是(     )

(A)x100  a,S100=2b a         (B)x100  b,S100 2b a

(C)x100  b,S100=b a          (D)x100  a,S100 b a

8设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(    )

(A)2个     (B)3个     (C)4个     (D)5个

9各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于(    )

(A) 150     (B)  200    (C) 150或 200    (D)400或 50

10等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.

11设Sn=1+2+3+…+n,n N，求f(n)=的最大值.

12设为等差数列，为等比数列，且，又，试求的首项和公差。

13如图，有一列曲线已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉所围成图形的面积．

①求数列的通项公式；②求 ．

P0                  P1                   P2

14删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是（    ）(A)2046   　　　 (B)2047  　　　   (C)2048  　　  (D)2049

15 已知数列满足关系式且，则的值是______。

  16  在平面直角坐标系中， 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在X轴上的截距为，点的横坐标为，。

    （Ⅰ）证明>>4，。

    （Ⅱ）证明有，使得对都有<。

课后练习答案

1．200, 2． , 3．C , 4．C , 5．C

6．, 7．A, 8．C, 9．A, 10．

11．当n=8时，f(n)取得最大值，为, 

12．

13．略

14．C

15．

16．略

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