课标全国卷数学高考模拟试题精编(十二)

【说明】　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)

A．－1－i  B．－1＋i

C．1－i  D．1＋i

2．“函数y＝ax是增函数”是“log2a＞1”的(　　)

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．(理)若n的展开式中，各系数之和为A，各二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n的值为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

(文)设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2,4}，则“a＝2”是“A∩B”＝{4}的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．已知实数4，m,1构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)

A.  B. 

C.或  D.或3

5．执行如图所示的程序框图，则输出的B的值为(　　)

A．63  B．31

C．15  D．7

6．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为(　　)

A．2  B．3

C．5  D．7

7．已知集合M＝{x||x＋2|＋|x－1|≤5}，N＝{x|a＜x＜6}，且M∩N＝(－1，b]，则b－a＝(　　)

A．－3  B．－1

C．3  D．7

8．(理)

如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(1,0)，B(1,2)，C(0,2)，曲线y＝ax2经过点B.现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D. 

(文)已知f(x)＝，则f的值为(　　)

A.  B．－

C．1  D．－1

9．(理)一个班有6名战士，其中正副班长各一名，现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，正副班长中有且仅有一人参加，另一人要留下值班，则不同的分配方法有(　　)

A．240种  B．192种

C．2 880种  D．1 440种

(文)双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

10．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)

A.π  B．3π

C.π  D．2π

11．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，……，依次循环的规律分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为(　　)

A．98  B．197

C．390  D．392

12．定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ(λ∈R)，使得对任意的x∈R，都有f(x＋λ)＝λf(x)，则称y＝f(x)为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是(　　)

A．若函数y＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，则y＝f(x)至少有1个零点

B．函数f(x)＝2x＋1是倍增函数，且倍增系数λ＝1

C．函数f(x)＝e－x是倍增函数，且倍增系数λ∈(0,1)

D．若函数f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，则ω＝(k∈N*)

答题栏

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)

13.

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图(斜二测画法)，则该简单组合体的体积为________．

14．数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n项之积，则A2 013＝________.

15．(理)某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为________．

(文)若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边长AB的长度等于________．

16．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C.

(1)求cos A；

(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.

18．(理)(本小题满分12分)某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．

(1)若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y(单位：元)关于当天的需求量n(单位：瓶，n∈N)的函数解析式；

(2)根据市场调查，100天的酸奶的日需求量(单位：瓶)数据整理如下表：

(文)(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．

19.(理)(本小题满分12分)

如图：四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥CD，三角形ADE是等边三角形，且平面ABCD⊥平面ADE，

EF∥AB，CD＝2AB＝2AD＝2EF＝4，＝

(1)求证：AF∥平面BDG；

(2)求二面角C－BD－G的余弦值．

(文)(本小题满分12分)

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE＝CF＝2a.

(1)求证：B1F⊥平面ADF；

(2)求三棱锥B1－ADF的体积；

(3)求证：BE∥平面ADF.

20.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点F2斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′.求证：k·k′为定值．

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.

(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)若存在x∈(e是自然对数的底数，e＝2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.

(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB＝CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F.

(1)求证：CD2＝AE·BC；

(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝cos.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)求直线l被曲线C所截得的弦长．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－7|－|x－3|.

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当x＜5时，不等式|x－8|－|x－a|＞2恒成立，求实数a的取值范围．

课标全国卷高考模拟试题精编十二

1．D　＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，选D.

2．A　函数y＝ax是增函数可知a＞1，不能推出log2a＞1，若log2a＞1，则a＞2，可推出a＞1.

3．(理)A　在二项式中令x＝1得系数之和A＝4n，又B为二项式系数之和，则B＝2n，故A＋B＝4n＋2n＝72，得n＝3，选A.

(文)A　由题意当a＝2时，A∩B＝{4}；反之，当A∩B＝{4}时，a＝±2，因此“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件，选A.

4．C　∵m2＝4，∴m＝±2.

当m＝2时，曲线为椭圆，∴e＝＝＝.

当m＝－2时，曲线为双曲线，∴e＝＝＝.

5．A　第一次循环：B＝2×1＋1＝3，A＝2；第二次循环：B＝2×3＋1＝7，A＝3；第三次循环：B＝2×7＋1＝15，A＝4；第四次循环：B＝2×15＋1＝31，A＝5；第五次循环：B＝2×31＋1＝63，A＝6，此时不满足A≤5，终止循环，故输出的B的值为63，选A.

6.

B　不等式组表示的区域为图中阴影部分．又ax－y＋1＝0恒过定点(0,1)，当a＝0时，不等式组所表示的平面区域的面积为，不合题意，当a＜0时，所围成的区域面积小于，所以a＞0，此时所围成的区域为三角形，如图所示，其

面积为S＝×1×(a＋1)＝2，解之得a＝3.

7．C　由数轴可知M＝{x|－3≤x≤2}，又M∩N＝(－1，b]

∴a＝－1，b＝2，∴b－a＝3.

8．(理)A　因为y＝ax2的图象过B点，所以2＝a×12，则a＝2，故所求的概率是1－＝1－＝.故选A.

(文)B　f＝f＋1＝

sin＋1＝－·＋1＝－.

9．(理)B　不同的分配方法有：CCA＝192种．

(文)A　由方程x2＋my2＝1得x2－＝1，所以2＝2×2，解得m＝－，

令x2－y2＝0，得渐近线方程为y＝±2x.

10．A　

如图所示，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.

由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，所以AE⊥平面BCD.

因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，所以AE＝，EO＝，所以OA＝.

在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V＝π3＝π.故选A.

11．D　将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第16×6＋2＝9，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.

12．B　对于选项A，∵函数y＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，∴f(x－2)＝－2f(x)，当x＝0时，f(－2)＋2f(0)＝0，若f(0)，f(－2)任意一个为0，函数f(x)有零点，若f(0)，f(－2)均不为零，则f(0)，f(－2)异号，由零点存在性定理，在区间(－2,0)内存在x0，使得f(x0)＝0，即y＝f(x)至少有1个零点，故A正确；对于选项B，∵f(x)＝2x＋1是倍增函数，∴2(x＋λ)＋1＝λ(2x＋1)，∴λ＝≠1，故B不正确；对于选项C，∵f(x)＝e－x是倍增函数，

∴e－(x＋λ)＝λe－x，∴＝，∴λ＝∈(0,1)，故C正确；对于选项D，∵f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，∴sin[2ω(x＋λ)]＝λsin 2ωx，∴ω＝(k∈N*)，故D正确．

13．解析：本题中的组合体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥后剩下的部分，所以先求出三棱锥和圆锥的体积，然后按照要求相减即可．图中三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4；还原的圆锥的底面半径为2，高为4，所以这个组合体的体积V＝××4×4×4－××π×22×4＝－π.

答案：－π

14．解析：由a1＝3，an－anan＋1＝1，得an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝－，a4＝3，所以{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3＝－1，又2 013＝3×671，所以A2 013＝(－1)671＝－1.

答案：－1

15．(理)解析：甲、乙两人恰好对门的概率为

P＝3＝.

答案：

(文)解析：S△ABC＝AC·BCsin 60°＝AC·2·＝，∴AC＝2.

利用余弦定理AB＝＝2.

答案：2

16．解析：由题意得f′(x)＝3ax2－3，当a≤0时，有f′(x)＝3ax2－3＜0，∴f(x)在[－1,1]上为减函数，

∴f(x)最小值＝f(1)＝a－2≥0，解之得a≥2(与条件a≤0矛盾)，不符合题意；

当a＞0时，令f′(x)＝0可得x＝±，当x∈时f′(x)＜0，f(x)为减函数；

当x∈，时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．

由f(－1)＝4－a≥0可得0＜a≤4，又由f＝a×－＋1＝1－≥0可得a≥4.综上可知a＝4.

答案：4

17．解：(1)3(cos Bcos C＋sin Bsin C)－1＝6cos Bcos C，

得3cos Bcos C－3sin Bsin C＝－1.

即3cos(B＋C)＝－1，从而cos A＝－cos(B＋C)＝.

(2)由于0＜A＜π，所以sin A＝.

又S△ABC＝bcsin A＝2，解得bc＝6.①

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝13.②

由①②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.

18．(理)解：(1)y＝

y＝

(2)X可取110,140,170.

(文)解析：(1)设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a＞0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.

以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

事件A发生的概率为P(A)＝＝.

(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，

所以点P落在区域，内的概率为.

19．(理)解：(1)连接AC交BD于H，连接GH，

∵＝

∴＝，即＝

∴＝＝2

∴GH∥AF

∵GH⊂平面BDG

AF⊄平面BDG

∴AF∥平面BDG

(2)如图建立空间坐标系，

∵B(2,2,0)，C(0,4,0)，F(1,2，)

∴＝＝

∴＝＋＝(0,4,0)＋＝

∵＝(2,2,0)

设平面BDG的法向量为n1＝(x，y,1)

∵

∴n1＝

设平面BDC的法向量为n2，n2＝(0,0,1)

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝

所以二面角C－BD－G的余弦值为.

(文)解：(1)证明：∵AB＝AC，D为BC中点，

∴AD⊥BC.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B.

∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1.

∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F.

在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝a，B1C1＝CF＝2a，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1.

∴∠CFD＝∠C1B1F.∴∠B1FD＝90°.∴B1F⊥FD.

∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面AFD.

(2)∵B1F⊥平面AFD，

∴VB1－ADF＝·S△ADF·B1F＝××AD×DF×B1F＝.

(3)连EF，EC，设EC∩AF＝M，连DM，

∵AE＝CF＝2a，∴四边形AEFC为矩形，

∴M为EC中点．

∵D为BC中点，∴MD∥BE.

∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF.

20．解：(1)由条件知a＝2，b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)设过点F2(1,0)的直线l方程为：y＝k(x－1)，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)，

将直线l方程y＝k(x－1)代入椭圆C：＋＝1，

整理得：(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

因为点F2在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，Δ＞0恒成立，且x1＋x2＝，x1x2＝.

直线AE的方程为：y＝(x－2)，直线AF的方程为：y＝(x－2)，令x＝3，得点M，N，所以点P的坐标

直线PF2的斜率为

k′＝

＝

＝·

＝·.

将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：

k′＝·＝－.

所以k·k′为定值－.

21．解：(1)由题意知f′(x)＝ln x＋1，当x∈时，

f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．

当0＜t＜t＋2＜时，t无解；

当0＜t≤＜t＋2，即0＜t≤时，

f(x)min＝f＝－；

当＜t＜t＋2，即t＞时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，故f(x)min＝f(t)＝tln t.

所以f(x)min＝.

(2)由题意知2xln x≥－x2＋ax－3，

即a≤2ln x＋x＋，

设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝＋1－＝，

当x∈时，h′(x)＜0，此时h(x)单调递减；

当x∈(1，e]时，h′(x)＞0，此时h(x)单调递增．

所以h(x)max＝max，因为存在x∈，使2f(x)≥g(x)成立，所以a≤h(x)max，

又h＝－2＋＋3e，h(e)＝2＋e＋，

故h＞h(e)，所以a≤＋3e－2.

22．解：(1)因为AD∥BC，所以∠EAB＝∠ABC.

又因为FB与圆O相切于点B，所以∠EBA＝∠ACB，所以△EAB∽△ABC，

所以＝，即AB2＝AE·BC，

因为AB＝CD，所以CD2＝AE·BC.

(2)由(1)得AE＝＝，因为AD∥BC，所以∠FAE＝∠ACB，又∠EBA＝∠ACB，

所以∠FAE＝∠EBA，∠F＝∠F，所以△FEA∽△FAB，

所以＝，所以EF＝·AF＝.

23．解：(1)将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.

将曲线C的极坐标方程ρ＝cos化为直角坐标方程为x2＋y2－x＋y＝0.

(2)由(1)可知曲线C表示圆心为，半径为的圆，则圆心到直线l的距离d＝，

所以直线l被曲线C截得的弦长为2＝2＝.

24．解：(1)f(x)＝

图象如图所示：

(2)∵x＜5，∴不等式|x－8|－|x－a|＞2可化为8－x－|x－a|＞2，

∴|x－a|＜6－x对x＜5恒成立，

即x－6＜x－a＜6－x对x＜5恒成立，

∴对x＜5恒成立．

又∵x＜5时，2x－6＜4，∴4≤a＜6.

∴实数a的取值范围为[4,6)．