(详细解析)1996年全国高考文科试题

数学（文史类）

　　　　　　　　　第Ⅰ卷（选择题共65分）

注意事项：

1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合．则

A．      B．      C．      D． 

【答案】C

【解析】显然C正确．

2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像

【答案】A

【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，且过点．

3．若，则的取值范围是

A． 

B． 

C． 

D． 

【答案】D

【解析】或，解得

或，即

，所以的取值范围是．

4．复数等于

A．        B．        C．       D． 

【答案】B

【解析】．

5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有

A．720种    　　 B．360种     　　C．240种     　　D．120种

【答案】C

【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有．

6．已知是第三象限角且，则

A．   　 　B．　   　C． 　  　D． 

【答案】D

【解析】由已知得，所以

．

7．如果直线与平面满足：和，那么必

有

A．且   B．且   C．且   D．且

【答案】A

【解析】略．

8．当时，函数的

A．最大值是1，最小值是         B．最大值是1，最小值是

C．最大值是2，最小值是         D．最大值是2，最小值是

【答案】D

【解析】因为，由已知．故当

，即时，有最大值是2；当，即时，有最小值是．

9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是

A．        B．     C．       D． 

【答案】A

【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是．

10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是

A．　　   B．　     C．　     D． 

【答案】C

【解析】设圆锥底面半径为，则，得，则圆锥高为，

圆锥的体积是．

11．椭圆的两个焦点坐标是

A．       B． 

     C．               D． 

【答案】B

【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以的焦点坐标是．

12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为

   A．        B．        C．       D． 

【答案】D

【解析】取的中点，连接，如图所示．

均为等腰直角三角形，，

∴，则面，就是三棱锥的高，所以．

13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为

A．130        B．170        C．210       D．260

【答案】C

【解析】由已知得，则成等差数列，所以

．

14．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为

A．2        B．        C．        D． 

【答案】A

【解析】直线的方程为，原点到直线的距离为，则

，即，解得或，又，所以

，所以不合题意．

15．是上的奇函数，，当时，，则等于

A．       B．       C．       D． 

【答案】B

【解析】

．

                                                       第Ⅱ卷（非选择题共85分）

注意事项：

        1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．

        2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则        ．

【答案】4

【解析】由已知得，解得．

17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有        个．（用数字作答）

【答案】32

【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有个．

18．的值是        ．

【答案】

【解析】∵，∴，

．

19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是        ．

【答案】

【解析】由于，所以即为异面直线与所成角，设正方形边长为，在中， 

，．

三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．（本小题满分11分）

     解不等式．

【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．

（Ⅰ）时，原不等式等价于不等式组：      　　     ——2分

解得．   　　                                     ——5分

（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：　　　——7分

解得．    　10分

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．          ——11分

21．（本小题满分12分）

     设等比数列的前项和为．若，求数列的公比．

【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．

若，则有．但，

即得，与题设矛盾，故． 　　              ——2分

又依题意可得．

整理得．

由得方程．， 　　   —— 9分

∵ ，∴，∴． 　　          ——12分

22．（本小题满分11分）

已知的三个内角满足：，求

的值．

解法一：由题设条件知．                      ——2分

∵，∴．

将上式化为．

利用和差化积及积化和差公式，上式可化为

．        ——6分

将代入上式得

．

将代入上式并整理得

                    ——9分

，

∵，∴．

从而得．                                      ——12分

解法二：由题设条件知．

设，则，可得，    ——3分

所以

．          ——7分

依题设条件有，

∵，∴．

整理得                 ——9分

，

∵，∴．

从而得．                             ——11分

23．（本小题满分12分）

【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】

如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，且．

（Ⅰ）求证：面面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

（Ⅰ）证明： ①∵，，延长与延长线交于，连结．

∴，

∴．

 ②                                                ．

 ∴．

③                                                ．

 ∴．

④                                                ．

∴．

⑤                                                ．

∴面．

（Ⅱ）解：

【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．

（Ⅰ）②∵，∴，∴，           ——1分

③∵是等腰三角形，且，

∴，∴，                           —— 3分

④∵面，∴是在面上的射影，

且，                                             —— 5分

⑤∵，面，面，

∴面面．    7分

（Ⅱ）∵，

在面内作，垂足为．．

面面，∴面，

∵，而面，∴三棱柱的高为．——9分

．　                             ——10分

∴．　                              ——12分

24．（本小题满分10分）

某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=）

【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．

设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/公顷．

依题意得不等式．——5分

化简得．                           ——7分

∵

．                                 —— 9分

∴（公顷）．

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．               ——10分

25．（本小题满分12分）

已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点，分别为和．

     （Ⅰ）求的斜率的取值范围；

（Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．

【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．

（Ⅰ）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组            ①                       ——1分

有两个不同的解．

在方程组①中消去，整理得．   ②

若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故

，即，方程②的判别式为

．

设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组

                       ③

有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得

．             ④

同理有．

又因为，所以有．                        ——4分

于是，与双曲线各有两个交点，等价于

解得    ——6分

∴．                   ——7分

（Ⅱ）双曲线的顶点为．

取时，有，

解得．从而．　                         ——8分

将代入方程④得．  　⑤

记与双曲线的两交点为，则

．

由⑤知．

∴．　                     ——11分

当取时，由双曲线关于轴的对称性，知．

所以过双曲线的一个顶点时，．      　——12分