秒杀题型 焦点三角形(椭圆与双曲线)

秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形

椭圆的焦点三角形：

椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：

性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 132

3=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足

︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是(

)

A.(][)

+∞,91,0 B.(][)

+∞,93,0 C.(][)

+∞,41,0 D.(]

[)

+∞,43,0

【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=

,则

tan 60a

b

≥= ,

即

≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则

tan 60a

b ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22

S c y c y b θ

=

⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:22

22=+b

y a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.

若21F PF ∆的面积为9,则b =

.

【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94

tan

b 22

==b π

，3=∴b 。〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22

195

x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.

【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：

53

3

。秒杀技巧：利用焦点三角形面积公式得3

3

53352tan 2

=

⨯==θb S 。秒杀题型三：

4.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点。)；顶角为90︒，即以12F F 为直径的

圆与椭圆交点为点P

：0),02(2

22

(142b c e b c e b c e ⎧>>>⎪⎪

⎪⎪

==⎨⎪

⎪<>>⎪⎪⎩

。1.(高考题)1F 、2F 是椭圆22

:184

x y C +=的焦点,在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为.

【解析】：c b = ，P 点的个数是2个。

2.(高考题)已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在椭圆上,若12,,P F F 是一个直角三角形的

三个顶点,则点P 到x 轴的距离为(

)A.

5

9 B.3

C.

7

79 D.

4

9【解析】：c b > ，

所以顶角为直角的不存在；而底角为直角时，P 到x 轴的距离为通径的一斗，即：4

9

2=a b ，选D 。

3.(高考题)设1F 、2F 为椭圆22

194

x y +=的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知P ,1F ,2F 是一个直角三角形的

三个顶点,且12PF PF >,求

12

PF PF 的值.

【解析】：c b < ，所以顶角为直角与底角为直角的均存在，ⅰ.如果底角为直角，243PF =

，1143PF =,12PF PF =72

；ⅱ.如果顶角为直角，126r r +=，2

2

1220r r +=，124,2r r ==,12

PF PF =2。

秒杀题型四：

性质：1.双曲线:ⅰ.焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；ⅱ.122

.cot

(2

PF F S b θ

θ=为焦点三角形的顶角)=c y ⋅。等面积思想在解题时非常重要。．．．．．．．．．．．．．．

1.(2015年新课标全国卷I5)已知()00,y x M 是双曲线12:22=-y x C 上的一点,21,F F 是C 的两个焦点,若

021<⋅MF MF ,则0y 的取值范围是(

)A.⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-

33,33 B.⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

-

63,63 C.⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-

322,322 D.⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-

332,332【解析】：秒杀方法：当21MF MF ⊥时，由等面积得：3

3

312

tan

2=

⇒⋅=⋅===

y y y c b S θ，选A 。2.(高考题)已知1F 、2F 为双曲线C :22

1x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,21PF F ∠︒=60,则12||||PF PF ⋅=()

A.2

B.4

C.6

D.8

【解析】：由等面积得：43

sin 2132

tan

21212=⇒=

==

PF PF PF PF b S π

θ，选B 。3.(高考题)双曲线22

1916

x y -=的两个焦点为12,F F ,点P 在双曲线上,若12PF PF ⊥,则点P 到x 轴的距离

为

.

【解析】：5

165612

tan

2=

⇒⋅=⋅===

y y y c b S θ。4.(高考题)已知1F 、2F 为双曲线C :22

1x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,21PF F ∠=︒60,则P 到x 轴的距离为(

)

A.

32 B.

62

【解析】：2

6

232

tan

2=

⇒⋅=⋅===

y y y c b S θ，选B 。5.(高考题)设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点,21,F F 是该双曲线的两个焦点,若12||:||3:2PF PF =则

12PF F ∆的面积为(

)

A. B.12

C. D.24

【解析】：设t PF 31=，则t PF 22=，由双曲线的定义得：22==a t ，61=PF ，42=PF ，13221=F F ,所以由勾股定理得12PF F ∆为焦点直角三角形，所以122

==b S ，选B 。

6.(高考题)设21,F F 分别是双曲线2

2

19

y x -=的左、右焦点,若点P 在双曲线上,且120PF PF ⋅= ,则12PF PF +=

()

B.

D.【解析】：由向量中线定理得：12PF PF +=

=1022=c ，选B 。

7.(高考题)已知双曲线22

:1916x y C -=的左,右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212PF F F =,则

12PF F ∆的面积等于(

)

A.24

B.36

C.48

D.96

【解析】：212PF F F ==10，由双曲线定义得：161=PF ，12PF F ∆是等腰三角形，底边上的高为6，所

以面积为48，选C 。

8.(2016年浙江卷)设双曲线13

2

2

=-y x 的左、右焦点分别为1F ,2F .若点P 在双曲线上,且21PF F ∆为锐角三角形,则21PF PF +的取值范围是_______．【解析】：当顶角为直角时，21PF PF +=72，

当底角为直角时，21PF PF +=8，所以21PF PF +的取值范围是()

8,72。

〖母题2〗设12,F F 为双曲线2

214

x y -=的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足1290F PF ∠=︒.求12F PF ∆的面

积.

【解析】：面积为2

b =1。