高等代数专题复习题

一、选择题

1．设，且，若，则 (    )。

A．        B．

C．        D．

2．已知是5阶行列式中的一项，且带正号，其中，则的值是                                                        (    )。

A．4           B．3            C．2                D．1

3．初等矩阵 左乘矩阵A得到的结果为                                         (    )。

 A．用数乘以的第行加到第行上

 B．用数乘以的第行加到第行上

 C．用数乘以的第列加到第列上

 D．用数乘以的第列加到第列上

4.若既约分数r/s是整系数多项式f（x）的根，则下面结论哪个正确(    )。

A.s+r(f(1)，s-r)f(-1)            B.s+r(f(1)，s+r)f(-1)   

C.s+r(f(-1)，s-r)f(1)            D.s+r(f(-1)，s+r)f(-1)

5.n阶行列式D,当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号(    )。

A.4k或4k＋2                  B.4k或4k＋1

C.4k或4k＋3                  D4k+1或4k＋2

6、若两矩阵相似，则（    ）。

A.秩相等;           B. 正惯性指标相等; 

C.符号差相等;       D. 秩相等且符号差相等

7．设A、B、C都是n阶矩阵，则下列说法中正确的是（    ）。               

A．AB=BA                 B．若AB=AC，则B=C

C．r(AB)=r(A)+r(B)         D．若A、B都可逆，则AB可逆

8．下列关于多项式的说法中错误的是（    ）。                              

A．奇数次实系数多项式一定有实根

 B．若在有理数域上可约,则一定存在有理根

C．若，则

D．若是的k重因式，则是的k-1重因式

9. 设V是欧氏空间, 下面结论不成立的是（    ）。

A.；  B.；

C. ；         D.．

10．设A为m×n矩阵，则下列叙述中正确的是 （    ）。

A.当m=n时，齐次线性方程组AX=0仅有零解

B.当m＜n时，齐次线性方程组AX=0有非零解

C.当m≥n时，非条线性方程组AX=B有唯一解

D.当m＜n时，非齐线性方程组AX=B有无穷多解

11. 关于向量组极大无关组的结论, 下面有（    ）个正确。

(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组；    (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组； 

(Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一；      (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价．

A.1            B.2             C.3            D.4．

12．设A、B为n阶方阵，A≠0，且AB=0，则下列成立的是（    ）。

A．|B|=0或|A|=0                       B．BA=O   

C．                  D．B=O

13. 为欧氏空间中的两个非零向量, 则()=0是正交的（    ）。

A.充分非必要条件;                 B.必要非充分条件; 

C.非充分非必要条件;               D.充要条件.

14. 下列命题正确的是（    ）。

A. 正交矩阵的行列式值等于1；            B.正定矩阵必相似于单位矩阵；

C. 正定矩阵必合同于单位矩阵；           D.以上结论都错．

15．设A是数域F上的矩阵，若A的秩等于，则 （    ）。

A．至多有一个阶子式不为零

B．所有阶子式都不为零

C．所有阶子式不为零

D．所有阶子式都为零

16.阶行列式，当取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（    ）。

A. 或     B. 或     C. 或       D. 或

17.若既约分数是整系数多项式的根，则下面结论那个正确（    ）。

A.            B.   

C.            D.  

二、填空题

1.             多项式可整除任意多项式。

2.艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个             条件。

3．设，则=________________。          

4．把表示成的方幂和为______________。                    

5．写出行列式展开定理及推式__________________。

6．行列式的展开式中，x的系数是      。

7.设是线性空间的一个线性无关的向量组，则L()的维数为______。

8．至少是多项式的二重根，则=        .

9. 若A既为实对称矩阵又为正交矩阵，则=__________。

10．设A是3阶方阵，是A的伴随矩阵，，则=        。

11. 在欧氏空间中, 函数的长度为__________。

12.若不可约多项式是的重因式，则是的        重因式。

13．若，则         ，         。

三、计算题

1.解矩阵方程：

2.设，求商与余式.

3.求解含参数的线性方程组

.

4. 用正交的线性替换将二次型=化为标准形．

四、解答题

1．设为矩阵，如果，那么是否有秩＋秩？

五、证明题

1.设是线性变换的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，证明： 不是的特征向量.

2.证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。

高等代数复习题答案

一、选择题

1-5 CCACB

6-10 DDBDB

11-15 CBADC

16-18 DBC

二、填空题

1.零次 2.充分 3.        4.；

5．  6.2   7.3  8.-5 9.A   10.125  11..  12..单    13.  

三、计算题

1.解：， 

   =                                     

2. 解：由带余除法，可得

3.解: 对增广矩阵施行行初等变换                               

    对参数a讨论如下:

    (1).当,方程组有唯一解;                       

    (2). 当,方程组有无穷多解                 

(3). 当,方程组无解.    

 4.二次型相应矩阵为

由，得A的特征值为2，－1，5．

相应特征向量为,,．

单位化 ，，．

令，其中 

四、解答题

1．证：令，

         是的解。

   秩＝秩秩。

   秩＋秩。

五、证明题

1. 证明：由假设     （,    （,   

由此可得      .       (1)       

如果是A的特征向量, 对应的特征值为, 则

此式与(1)式比较, 得

但由于属于不同特征值的特征向量线性无关, 故

从而 , 与假设矛盾.

因此,  不是A的特征向量.

2.证    设是n维线性空间V的一组基。显然都是V的一维子空间，且 ＝V   又因为

      故     。