时间序列预测法

根据预测模型得出：

　　即该公司7月份的卷烟预测销售量为282166.7万支。

2、加权算术平均法

在时间序列中距离预测期越近的数据对预测值影响越大，距离预测期越远的数据对预测值的影响越小，各个数据对预测值的影响程度是不同的。

确定权数的原则是，对离预测期近的数据，它的权数较大，对离预测期远的数据，它的权数相对较小。设时间序列中有个观察值，分别赋予它们的权数是，则这些观察值的加权平均数就是所求预测值。

加权算术平均法的预测模型为：

式中：——作为预测值的加权算术平均数；      ——时间序列中第i期具体数据；——给予第期观察值（）的权数。

i ——时间序列中各具体数据的顺序号；n ——时间序列中各具体数据的个数

运用加权算术平均法进行预测，关键在于确定适当的权数。权数的确定通常要依靠预测人员的经验判断。一般来说，确定权数必须体现影响力大的观察值对应大的权数的原则。

在采用加权算术平均法进行预测时，一般要建立几种权数方案，分别计算后，进行比较分析，最终选择能较好反映实际的预测值。

（自学）

〔例题2〕：仍然用例题1的原始数据，若给予1-6月卷烟销售量相应的权数分别为1，2，3，4，5，6，请用加权算术平均法预测该公司7月份的卷烟销售量。

〔分析提示〕：

该公司7月份卷烟销售量的预测值是：

3、移动平均法

移动平均法是在算术平均法的基础上发展起来的一种方法，是以预测对象最近一组历史数据（实际值）的平均值直接或间接地作为预测值的方法。

具有较好的修匀历史数据、消除随机波动影响的作用；特别是对于偏大或偏小的数据，经过移动平均调整后，可以消除不规律的变动，从而较好地揭示经济现象的长期发展趋势。

移动平均法包括一次移动平均法、二次移动平均法和加权移动平均法等。

（1）一次简单移动平均法

一次简单移动平均法是依次取时间序列的个数据进行平均，并依次移动，得到一个平均数序列，且以最近个数据的平均数作为下期预测值的预测方法。其预测模型为：

式中Mt——第期的一次移动平均数（期的预测值）；——时间序列第期的观察值；

——移动平均数的跨越期长度（即跨越期内数据的个数）；

一次简单移动平均法的预测，就是将第期的移动平均数作为下一期（期）的预测值。它有三个特点：

a．预测值是离预测期最近的一组历史数据（实际值）平均的结果；

b．参加平均的历史数据的个数（即跨越期长度）是固定不变的；

c．参加平均的历史数据组是随着预测期的向前推进而不断更新的，每当吸收一个新的历史数据参加平均的同时，就剔除原来历史数据组中离预测期最远的那个历史数据。

〔例题〕：某品牌卷烟××年度的销售数据如下表（单位：万支），请用一次移动平均法预测下一年度1月份该品牌卷烟的销售量（分别取跨越期长度、）。（保留1位小数）

取时，

……

取时，

……

将计算结果填入表中。由表中的计算结果可以得出，当时，下年度1月份该品牌卷烟销售量的预测值是132.7万支；当时，其预测值是125.8万支。

对于的取值，如时间序列呈现周期变动时，就取该周期的长度为；若无明显周期变动时，则要由经验判断来确定。当的取值比较大时，预测的灵敏度略差，但修匀性较好；当的取值比较小时，能较好地反映数据变动趋势的灵敏度，但修匀性较差。

在实际应用中，可以取几个不同的值进行试算，并计算预测值的误差，从中选取误差较小的。对于本例题，当时，预测值绝对误差的平均值是11.62；当时，预测值绝对误差的平均值是13.17。由此可见，应该选择跨越期长度来进行预测。

（2）加权移动平均法

加权移动平均法是在简单移动平均法的基础上，对最近期观察值分别给予不同的权数，并以加权后的平均值作为下一期预测值的预测方法。其预测模型为：

    式中  ——第期的一次加权移动平均数（第＋1期的预测值）；——时间序列第期的观察值；

          ——移动平均数的跨越期长度（即跨越期内数据的个数）；——最近第期的权数。

（自学）

〔例题4〕：某品牌卷烟××年下半年的销售数据如下表（单位：万元），请用一次加权移动平均法预测下年度1月份该品牌卷烟的销售额（分别取跨越期长度n=2、n=3）。（保留1位小数）

取时，取权数＝2， =1，则：

同理可得：     =160， =166.7， =176.7

取时，取权数＝3，＝2，＝1，则：

同理可得： =165， =173.3

将计算结果填入表中，由表中计算结果可知，当时，预测值绝对误差的平均值是8.0；当时，预测值绝对误差的平均值是9.7。本例题应该选择跨越期长度来进行预测，所以，下年度1月份该品牌卷烟的销售额预测值是176.7万元。

（二）指数平滑法

指数平滑法是移动平均法的发展，实际上是一种特殊的加权移动平均法，它分为一次指数平滑法和多次指数平滑法。

一次指数平滑法是指以预测对象的上期实际发生值和上期预测值为基数，用平滑系数来确定两者的权数，计算其加权平均数（即平滑值），并根据平滑值确定本期预测值的一种预测方法。

一次指数平滑法的预测模型为：

式中：——第期的指数平滑值（本期预测值）；——第期的实际发生值；

——第期的一次指数平滑值（上期预测值）；——平滑系数（）

上式又可表示为：

用文字可表述为：

因为上期实际值减去上期预测值的绝对值，即为上期预测误差，从上式中可以看出，本期预测值等于上期预测值加上平滑系数乘以上期预测误差。

基本步骤：

1、平滑系数的选择。运用一次指数平滑法进行预测，平滑系数选择很关键，取值不同，预测结果就不同。一般原则是：对于有较明显趋势变动的时间序列，为了突出近期数据对预测值的影响，平滑系数应取较大值；对于水平型的时间序列，因为变动趋势不明显，平滑系数应取较小值；在实际预测中，可以取几个值，进行试算，比较它们的预测误差，选择预测误差小对应的值。

2、确定初始平滑值S0。应用指数平滑法，必须确定初始平滑值S0。初始平滑值是指最早的一个预测值，它不能从公式中求取，只能估算出来，其方法是：

（1）当时间序列的数据较多时，例如大于10项时，初始值对以后指数平滑值的影响甚小，可以选用第一期数据作为初始平滑值S0，即S0= x1。

（2）当时间序列的数据较少时，例如少于10项时，一般采用最初几期的实际值的简单平均数作为初始值。如选前三期的算术平均数作为初始值S0，即。

3、计算各期平滑值并进行预测。

〔例题5〕：某烟草公司近一年来某牌号卷烟的月销量资料如下表（单位：万支），请用一次指数平滑法预测下一月份该牌号卷烟的销售量（分别取平滑系数、）。

（1）确定平滑系数(已取、)

（2）确定初始值，由于本例题，所以取；

（3）代入指数平滑公式，依次计算各期一次指数平滑值（保留一位小数），将计算结果填入上表；

（4）比较按和计算时，预测误差大小（见上表）：

当时，预测误差绝对值合计为109.6，

当时，预测误差绝对值合计为53.3

从上得出，当时，预测误差相对较小，所以应选择

（5）计算下月预测值：

（三）直线趋势延伸法

直线趋势延伸法实际上是线性回归方法在时间序列预测法中的应用。直线趋势延伸法是以市场预测的连续性原理为基础，根据市场发展的连续资料，通过识别时间序列长期趋势的类型，建立趋势预测模型并向外推导，从而对市场未来状况做出预测的方法，又称趋势外推法。

假设条件是：

⑴预测对象的发展过程没有跳跃式变化，一般属于渐进变化；

⑵预测对象的过去、现在和未来的客观条件基本保持不变。

预测模型为：

式中：——第期的预测值

——直线方程参数，是直线在轴上的截距

——直线方程参数，是直线斜率，代表变化趋势

——第期的时间序列值

——统计时间期（一般用序号表示）

参数和的计算公式是： 

若令，则简化为：

要使，当时间序列数据个数为奇数时，须令与统计时间期对应的时间序列值的中间项为0，其他项分别为： 

〔例题〕：某烟草公司2001～2005年的卷烟销售额依次为23933万元、28401万元、32958万元、37361万元、44880万元，试运用直线趋势延伸法预测2006年的卷烟销售额。

〔分析提示〕：

观察资料我们可发现卷烟销售额按大致相同的数额增加，因此可采用直线趋势延伸法，预测模型方程，根据资料数据个数为奇数，故可将置于中间一期（即2003年），如下表： 

将有关数据代入计算公式，则得

由于需预测2006年的卷烟销售额，根据时间序列数据，则将即，代入上式，得

即2006年卷烟销售额预测值为48762.8万元。

（四）季节指数预测法

1、季节指数预测法的概念和特点

季节指数法是根据预测目标各年按季编制的时间序列所显示的季节变动规律性，测定反映季节变动规律的季节指数，并利用季节指数进行预测的方法。

测定季节指数的方法可分为两类：

一类是不考虑长期趋势的影响，直接根据原始时间序列计算季节指数；

二是考虑长期趋势的影响，先将长期趋势的影响消除，再计算季节指数。

如果不考虑长期趋势的影响，就可以用求平均数方法，直接对时间序列中各年同季的实际值加以平均，再将各年同季的平均数与各年的总平均数进行比较，求出季节指数，最后用季节指数来计算预测值。

季节指数是一种以相对数表示的季节变动衡量指标。根据一年或两年的历史数据计算而得的季节变动指标往往含有很大的随机波动因素，所以在实际预测中通常需要根据三年以上的分季（月）历史数据来计算季节指数。

季节指数的计算公式为（以季度计算为例）：

即： 

式中：　　i——季节序数，i = 1、2、3、4；

         ——某季的季节指数；

         ——各年同季的季平均值，，Yi为各季的实际值，n为年数；

         ——所有年的季平均值，；

季节指数应化为百分数，全年4个季度的季节指数之和为400%，季节指数平均数为100%。如果计算时由于四舍五入引起的误差，使季节指数之和不等于400%时，需用比例法将其调整为400%。季节变动表现为各季的季节指数围绕着100%上下波动，表明各季平均值与全年平均数的相对关系。如某种商品第一季度的季节指数为132%，这表明该商品第一季度的销售量通常高于年平均数32%，属旺季；如第三季度的季节指数为75%，则表明该商品第三季度的销售量通常低于年平均数25%，属淡季。

如果是用月份来计算季节指数，全年12个月的季节指数之和为1200%，每个月的季节指数平均数为100%。

2、利用季节指数进行预测

当测定出预测变量的季节指数后，便可以利用它和有关历史资料进行预测。根据历史资料的不同，具体的预测方法也有一定的差异，下面分别介绍。

（1）已知年度预测值，求季（月）度的预测值。

当预测者掌握预测变量的年度预测值（也可以表现为年度计划值）时，可以通过下列步骤求各季（月）度的预测值：

首先，计算出预测年度的季（月）度的平均值，计算公式表示为：

季度平均值＝年度预测值/4 

月度平均值=年预测值/12

然后，计算各季（月）度的预测值，计算公式为：

某季（月）度预测值＝该季（月）度季节指数×季（月）度平均值

（2）已知本年某季（月）度的实际值，预测未来某季（月）度的值进而求得全年总值。以季度预测为例，可用通过下列公式进行预测：

某季预测值＝已知季实际值×（预测季度的季节指数/已知季度的季节指数）

下面用一个例题来具体说明该法的应用：

〔例题〕：某烟草公司2002年到2005年卷烟销售量分季资料如下表所示，若销量无长期变动趋势，分别完成下列预测：

⑴若2006年全年的计划销售量为285000万支，预测该年各季度的销售量。

⑵若2006年一季度的实际销售量为73500万支，预测该年二季度的销售量；

⑶若2006年上半年的实际销售量为145000万支，预测第三季度的销售量；

1、计算各年同季的季平均值、、、，进而计算所有年的季平均值，计算结果见下表。

2、计算各季的季节指数并化为百分数：

计算结果见下表：

（1）先根据2006年全年的计划销售量285000万支，求出2006年的季平均值；再根据各季的季节指数（、、、），求出2006年各季度的预测值：

2006年季平均值=285000÷4=71250万支

2006年第一季度预测值=71250×103.31%=73608.38万支

2006年第二季度预测值=71250×103.10%=73458.75万支

2006年第三季度预测值=71250×97.17%=69233.63万支

2006年第四季度预测值=71250×96.42%=68699.25万支

（2）2006年二季度预测值=一季度实际值×（二季度季节指数/一季度季节指数）

                       =73500×（103.10%/103.31%）

                       =73350.60（万支）

（3）2006年三季度预测值=上半年实际值×[三季度季节指数/上半年季节指数之和（+）]

                       =145000×[97.17/（103.31+103.10）]