中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案

1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.

【解析】

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，

即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，

故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

2．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【解析】

【分析】

（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；

（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=-2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，

∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；

（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），

∴0=2×1+m，解得m=-2，

∴y=2x-2，

则，

得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

∴（x-1）（ax+2a-2）=0，

解得x=1或x=-2，

∴N点坐标为（-2，-6），

∵a＜b，即a＜-2a，

∴a＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，

∴E（-，-3），

∵M（1，0），N（-2，-6），

设△DMN的面积为S，

∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，

（3）当a=-1时，

抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，

由，

-x2-x+2=-2x，

解得：x1=2，x2=-1，

∴G（-1，2），

∵点G、H关于原点对称，

∴H（1，-2），

设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，

-x2-x+2=-2x+t，

x2-x-2+t=0，

△=1-4（t-2）=0，

t=，

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），

把（1，0）代入y=-2x+t，

t=2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

3．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【解析】

【分析】

（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；

（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【详解】

解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；

（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B（3，0），

∴BC=3，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3

∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；

②当PB=PC时，OP=OB=3，

∴P3（0，-3）；

③当BP=BC时，

∵OC=OB=3

∴此时P与O重合，

∴P4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，

∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，

当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价元,每星期的销售量为件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．

（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，

解得：x＝40，

60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w，

根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000

＝﹣10（x﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A、B，抛物线经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）抛物线的解析式为；

（2）t的值为或； 

（3）t的值为或或； 

（4）符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.

【解析】

（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知，解得，

∴.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①当△ADE∽△AOB时，，∴，∴；

②当△AED∽△AOB时，，∴，∴；

综上所述，t的值为或.

(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴；

②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=，∴，∴；

③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=，∴，∴；

综上所述，t的值为或或.

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴，求得x=4，∴F（4，8）；

②当AD为对角线时，则，∴，解得，∵x﹥0，∴，∴.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

6．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

【分析】

（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可；

（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．

【详解】

（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，

解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；

（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

∴直线m的解析式为y=x．

∵点P是直线1上任意一点，

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，

∴．

∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

∴，，

∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，

∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，

∴OF=3a﹣20．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

∴，，

∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，

∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．

∴Q（2，﹣6）．

综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．

7．如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.

(1)求的值及该抛物线的解析式;

(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.

(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.

【解析】

分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；

 （2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；

 （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．

详解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．

 y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

 （2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM•PN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；

 （3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：

①当△ABD∽△DAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此时Q（，﹣）；

 当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．

 综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．

点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．

详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a，解得：a=，

∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

，解得：，，

∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，

∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直线AB′的解析式为y=-x+，

当y=-1时，有-x+=-1，

解得：x=，

∴点P的坐标为（，-1）．

（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，

∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，

∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．

∵M（m，n）为抛物线上一动点，

∴n=m2-m+1，

∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，

整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．

∵m为任意值，

∴，

∴，

∴定点F的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

9．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是。

（1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1，1）时，a=       ；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a 与m之间的关系式是       ；

（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含k的代数式表示b；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，B3，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足条件的正方形边长。

【答案】（1）－1；（2）（3）3，6，9

【解析】

解：（1）－1；。

（2）∵过原点的抛物线顶点在直线上，∴。

∵b≠0，∴。

（3）由（2）知，顶点在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12）的抛物线为：，即。

对于顶点在在直线上的一点Am（m，m）（m为正整数，且m≤n），依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），

若点Dm在某一抛物线上，则

，化简，得。

∵m，n为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。

∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。

（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有，即。

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，。

（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标代入，

化简即可用含k的代数式表示b。

由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。

（3）将依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），将（2 m，m）代入抛物线求出m，n的关系，即可求解。

10．如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】①；②当时，△PBE的面积最大，最大值为；③点N的横坐标为：4或或．

【解析】

【分析】

①点B、C在直线为上，则B（﹣n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，，因此抛物线解析式：；

②先求出点P到BC的高h为，于是，当时，△PBE的面积最大，最大值为；

③由①知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．

【详解】

解：①∵点B、C在直线为上，

∴B（﹣n，0）、C（0，n），

∵点A（1，0）在抛物线上，

∴，

∴，，

∴抛物线解析式：；

②由题意，得，

，，

由①知，，

∴点P到BC的高h为，

∴，

当时，△PBE的面积最大，最大值为；

③由①知，BC所在直线为：，

∴点A到直线BC的距离，

过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．

设，则、，

易证△PQN为等腰直角三角形，即，

∴，

Ⅰ．，

∴

解得，，

∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，

∴；

Ⅱ．，

∴

解得，，

∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，

，

∴，

Ⅲ．，

∴，

解得，，

∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，

，

∴，

综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．

【点睛】

本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．