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2013年湖南沙市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）4的平方根是（ ）
| A． | 8 | B． | 2 | C． | ±2 | D． | ± |
2．（3分）（2005•丰台区）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
| A． | x≥﹣1 | B． | x≤﹣1 | C． | x≠﹣1 | D． | x＞﹣1 |
3．（3分）（2010•长沙）一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是（ ）
| A． | 三棱锥 | B． | 长方体 | C． | 球体 | D． | 三棱柱 |
4．（3分）（2010•长沙）下列事件是必然事件的是（ ）
| A． | 通常加热到100℃，水沸腾 | |
| B． | 抛一枚硬币，正面朝上 | |
| C． | 明天会下雨 | |
| D． | 经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 |
5．（3分）（2010•长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
| A． | 3、4、5 | B． | 6、8、10 | C． | 、2、 | D． | 5、12、13 |
6．（3分）（2011•西宁）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=2、r2=4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）
| A． | 2 | B． | 4 | C． | 6 | D． | 8 |
7．（3分）（2010•长沙）下列计算正确的是（ ）
| A． | a2+a2=2a4 | B． | （2a）2=4a | C． | D． |
8．（3分）（2010•长沙）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
| A． | 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 | |
| B． | 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 | |
| C． | ||
| D． | ∠BAC=30° |
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2013•梅州）﹣3的相反数是 _________ ．
10．（3分）（2010•长沙）截止到2010年5月31日，上海世博园共接待8 000 000人，用科学记数法表示是 _________ 人．
11．（3分）（2010•长沙）如图，O为直线AB上一点，∠COB=26°30′，则∠1= _________ 度．
12．（3分）（2010•长沙）实数a、b在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是|a| _________ |b|．
13．（3分）（2010•长沙）已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是 _________ ．
14．（3分）（2011•呼伦贝尔）已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于 _________ 度．
15．（3分）（2010•长沙）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是60°，则等腰梯形的腰长是 _________ cm．
16．（3分）（2010•长沙）2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款、有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是 _________ ．
三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）（2010•长沙）计算：．
18．（6分）（2010•长沙）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（2010•长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．
20．（6分）有四张完全一样的空白纸片，在每张纸片的一个面上分别写上1、2、3、4．某同学把这四张纸片写有字的一面朝下，先洗匀随机抽出一张，放回洗匀后，再随机抽出一张．求抽出的两张纸片上的数字之积小于6的概率．（请用树状图或列表法求解）
21．（6分）（2010•长沙）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
22．（6分）（2010•长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
23．（8分）（2010•长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关房地产的新出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
24．（8分）（2010•长沙）已知：AB是⊙O的弦，D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=EC，求sinC．
五、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）（2010•长沙）已知：二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，﹣b），其中a＞b＞0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1﹣x2|的范围．
26．（10分）（2010•长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=x2+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
2013年湖南沙市中考数学模拟试卷（一）
参与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）4的平方根是（ ）
| A． | 8 | B． | 2 | C． | ±2 | D． | ± |
| 考点： | 平方根．4707384 |
| 分析： | 由（±2）2=4，根据平方根的定义即可得到4的平方根． |
| 解答： | 解：∵（±2）2=4， ∴4的平方根是±2． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了非负数的平方根的定义：若x2=a，则x叫a的平方根，相对比较简单，但是同样也很容易出错． |
2．（3分）（2005•丰台区）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
| A． | x≥﹣1 | B． | x≤﹣1 | C． | x≠﹣1 | D． | x＞﹣1 |
| 考点： | 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．4707384 |
| 分析： | 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． |
| 解答： | 解：根据题意得：x+1＞0， 解得x＞﹣1， 故选D． |
| 点评： | 函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． |
3．（3分）（2010•长沙）一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是（ ）
| A． | 三棱锥 | B． | 长方体 | C． | 球体 | D． | 三棱柱 |
| 考点： | 简单几何体的三视图．4707384 |
| 分析： | 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． |
| 解答： | 解：三视图完全相同的有正方体，球等，故选C． |
| 点评： | 本题考查三视图的有关知识，主要考查了平时对常见物体三视图的积累． |
4．（3分）（2010•长沙）下列事件是必然事件的是（ ）
| A． | 通常加热到100℃，水沸腾 | |
| B． | 抛一枚硬币，正面朝上 | |
| C． | 明天会下雨 | |
| D． | 经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 |
| 考点： | 随机事件．4707384 |
| 分析： | 根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． |
| 解答： | 解：A、通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件，符合题意； B、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、明天会下雨，是随机事件，不符合题意； D、经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，不符合题意． 故选A． |
| 点评： | 解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． |
5．（3分）（2010•长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
| A． | 3、4、5 | B． | 6、8、10 | C． | 、2、 | D． | 5、12、13 |
| 考点： | 勾股定理的逆定理．4707384 |
| 分析： | 欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． |
| 解答： | 解：A、32+42=52，故是直角三角形，故不符合题意； B、62+82=102，故是直角三角形，故不符合题意； C、（）2+22≠（）2，故不是直角三角形，故符合题意； D、52+122=132，故是直角三角形，故不符合题意． 故选C． |
| 点评： | 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． |
6．（3分）（2011•西宁）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=2、r2=4，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）
| A． | 2 | B． | 4 | C． | 6 | D． | 8 |
| 考点： | 圆与圆的位置关系．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． |
| 解答： | 解：两圆半径差为2，半径和为6， 两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和， 所以，2＜O1O2＜6．符合条件的数只有B．故选B． |
| 点评： | 本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法． |
7．（3分）（2010•长沙）下列计算正确的是（ ）
| A． | a2+a2=2a4 | B． | （2a）2=4a | C． | D． |
| 考点： | 二次根式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | A、合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变；B、系数和字母都乘方；C、D利用根式的乘除法计算． |
| 解答： | 解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误； B、（2a）2=4a2，故此选项错误； C、，此选项正确； D、÷3=，故此选项错误． 故选C． |
| 点评： | 本题主要考查了有关整式的运算，根式的运算． |
8．（3分）（2010•长沙）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
| A． | 弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 | |
| B． | 弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 | |
| C． | ||
| D． | ∠BAC=30° |
| 考点： | 正多边形和圆；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析． |
| 解答： | 解：A、因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成 正六边形，故正确； B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，=；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故正确； C、根据垂径定理，=，故正确； D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故错误． 故选D． |
| 点评： | 此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用． |
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2013•梅州）﹣3的相反数是 3 ．
| 考点： | 相反数．4707384 |
| 分析： | 一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． |
| 解答： | 解：﹣（﹣3）=3，故﹣3的相反数是3． |
| 点评： | 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆． |
10．（3分）（2010•长沙）截止到2010年5月31日，上海世博园共接待8 000 000人，用科学记数法表示是 8×106 人．
| 考点： | 科学记数法—表示较大的数．4707384 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． |
| 解答： | 解：8 000 000人=8×106人． |
| 点评： | 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． |
11．（3分）（2010•长沙）如图，O为直线AB上一点，∠COB=26°30′，则∠1= 153.5 度．
| 考点： | 对顶角、邻补角．4707384 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据邻补角的定答． |
| 解答： | 解：180°﹣26°30′=180°﹣26.5°=153.5°． |
| 点评： | 本题考查互为邻补角的两角之和是180°． |
12．（3分）（2010•长沙）实数a、b在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是|a| ＞ |b|．
| 考点： | 实数与数轴．4707384 |
| 分析： | 根据a，b距离原点的距离大小即可判断绝对值的大小．（距离原点越远的点的绝对值越大） |
| 解答： | 解：∵根据数轴可知a离原点的距离比b离原点的距离远， ∴|a|＞|b|． |
| 点评： | 此题主要考查了数轴上绝对值的几何意义．距离原点越远的点的绝对值越大． |
13．（3分）（2010•长沙）已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是 m＜1 ．
| 考点： | 反比例函数的图象．4707384 |
| 分析： | 根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小作答． |
| 解答： | 解：由题意得：1﹣m＞0， 解得：m＜1． |
| 点评： | 对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． |
14．（3分）（2011•呼伦贝尔）已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于 120 度．
| 考点： | 扇形面积的计算．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据扇形的面积公式S=，得n=． |
| 解答： | 解：根据扇形的面积公式，得 n===120°． |
| 点评： | 此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式． |
15．（3分）（2010•长沙）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是60°，则等腰梯形的腰长是 6 cm．
| 考点： | 等腰梯形的性质．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据等腰梯形的性质，作梯形的两高AE、BF，求出上下两底和的一半，即DE的长，再求腰长． |
| 解答： | 解：作梯形的两高AE、BF，∴△ADE≌△BCF（HL） ∵∠C=∠D=60°，∴∠DAE=∠CBF=30°， ∴DE=AD，又∵DE=CF=（10﹣4）=3cm， ∴AD=6cm，即等腰梯形的腰长是6cm． |
| 点评： | 考查了等腰梯形的性质，比较简单． |
16．（3分）（2010•长沙）2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款、有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是 50 ．
| 考点： | 中位数．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． |
| 解答： | 解：捐款从少到多依次为：15人每人捐30元、21人每人捐50元、10人每人捐70元、14人每人捐100元，处于中间的是第30个和第31个数，他们的所绢金额都为50元． 所以在这次每人捐款的数值中，中位数是50． 故填50． |
| 点评： | 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项． 注意找中位数的时候一定要先排好大小顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． |
三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）（2010•长沙）计算：．
| 考点： | 实数的运算．4707384 |
| 分析： | 一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数；tan30°=；任何不等于0的数的0次幂都等于1．由此即可求解． |
| 解答： | 解：原式==． |
| 点评： | 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． |
18．（6分）（2010•长沙）先化简，再求值：，其中．
| 考点： | 分式的化简求值．4707384 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，再化简，然后代入求值． |
| 解答： | 解：原式=， =， 当时，原式=3． |
| 点评： | 分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解． |
19．（6分）（2010•长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．
| 考点： | 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC﹣AB得解． |
| 解答： | 解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3， ∴DA=3． （2分） 在Rt△ADC中，∠CDA=60°， ∴tan60°=， ∴CA=． （4分） ∴BC=CA﹣BA=（﹣3）米． 答：路况显示牌BC的高度是（﹣3）米． （6分） |
| 点评： | 当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路． |
20．（6分）有四张完全一样的空白纸片，在每张纸片的一个面上分别写上1、2、3、4．某同学把这四张纸片写有字的一面朝下，先洗匀随机抽出一张，放回洗匀后，再随机抽出一张．求抽出的两张纸片上的数字之积小于6的概率．（请用树状图或列表法求解）
| 考点： | 列表法与树状图法．4707384 |
| 专题： | 压轴题；数形结合． |
| 分析： | 列举出所有情况，看抽出的两张纸片上的数字之积小于6的情况数占总情况数的多少即可． |
| 解答： | 解： 共有16种情况，积小于6的情况有8种， 所以P（小于6）==． |
| 点评： | 考查列树状图解决概率问题；找到抽出的两张纸片上的数字之积小于6的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． |
21．（6分）（2010•长沙）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
| 考点： | 作图-旋转变换；作图-轴对称变换．4707384 |
| 专题： | 作图题． |
| 分析： | （1）从三角形的各点向y轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可． （2）连接AO、BO、CO并延长相同单位得到对应点，顺次连接即可． |
| 解答： | 解：（1）如图，C1（﹣3，2）．（3分） （2）如图，C2（﹣3，﹣2）．（6分） |
| 点评： | 本题主要考查了中心对称图形及轴对称图形，作图的关键是找对应点． |
22．（6分）（2010•长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
| 考点： | 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4707384 |
| 专题： | 计算题；证明题；压轴题． |
| 分析： | （1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行； （2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD． |
| 解答： | （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°． ∴在△BEC与△DEC中， ∴△BEC≌△DEC（SAS）．（3分） （2）解：∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=∠BED．（4分） ∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．（5分） ∴∠EFD=60°+45°=105°．（6分） |
| 点评： | 解答本题要充分利用正方形的特殊性质、全等三角形的判定与性质、以及对顶角相等等知识． |
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
23．（8分）（2010•长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关房地产的新出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
| 考点： | 一元二次方程的应用．4707384 |
| 专题： | 压轴题；方案型． |
| 分析： | （1）此题可以通过设出平均每次下调的百分率为x，根据等量关系“起初每平米的均价×（1﹣下调百分率）×（1﹣下调百分率）=两次下调后的均价”，列出一元二次方程求出． （2）对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价×100×0.98；②方案：下调后的均价×100﹣两年的物业管理费，比较确定出更优惠的方案． |
| 解答： | 解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得 5000（1﹣x）2=4050（3分）， 解得：x1=10%，x2=（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%． （2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）； 方案②的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元） ∵396900元＜401400元． ∴选方案①更优惠． |
| 点评： | 同学们应注重培养应用题的分析理解能力，通过列出方程求出未知解． |
24．（8分）（2010•长沙）已知：AB是⊙O的弦，D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=EC，求sinC．
| 考点： | 切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．4707384 |
| 专题： | 计算题；证明题；压轴题． |
| 分析： | （1）连接BD，根据圆周角定理求出∠A=∠ABD，即AD=BD，再根据直角三角形的性质通过等量代换即可求出△BCD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可解答． （2）连接OD交AB于F，根据切线的性质可知OD⊥DE，由D是的中点可知AB⊥OD，四边形FBED为矩形，再根据直角三角形的性质可求出△BDC是等腰三角形，可求出BE=EC=DE，∠C=45°，再根据特殊角的三角函数值解答即可． |
| 解答： | （1）证明：连BD， ∵， ∠A=∠ABD， ∴AD=BD；（2分） ∵∠A+∠C=90°，∠DBA+∠DBC=90°， ∴∠C=∠DBC， ∴BD=DC， ∴AD=DC．（4分） （2）解：连接OD交AB于F， ∵DE为⊙O切线， ∴OD⊥DE；（5分） ∵，OD过圆心， ∴OD⊥AB； 又∵AB⊥BC， ∴四边形FBED为矩形， ∴DE⊥BC；（6分） 又∵BD=DC， ∴BE=EC=DE， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴∠C=45°；（7分） ∴sinC=．（8分） |
| 点评： | 此类题目比较复杂，解答此类题目的关键是作出辅助线，根据切线的性质及圆周角定理解答． |
五、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）（2010•长沙）已知：二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，﹣b），其中a＞b＞0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1﹣x2|的范围．
| 考点： | 二次函数综合题．4707384 |
| 专题： | 综合题；压轴题． |
| 分析： | （1）一次函数经过原点，说明这个一次函数是正比例函数，将点（1，﹣b）的坐标代入，即可求得这个一次函数的表达式． （2）将点（1，0）代入抛物线的解析式中，可得到a、b的关系式，用b替换掉a后联立一次函数的解析式，可得到一个关于x的一元二次方程，判断方程的根的判别式是否大于0即可． （3）由题意知：x1、x2是（2）题所得一元二次方程的两个实数根，根据韦达定理即可求得|x1﹣x2|的表达式，然后根据a、b的符号以及（2）题所得a、b的关系式即可得到|x1﹣x2|的取值范围． |
| 解答： | 解：（1）∵一次函数过原点， ∴设一次函数的解析式为y=kx； ∵一次函数过（1，﹣b）， ∴y=﹣bx．（3分） （2）∵y=ax2+bx﹣2过（1，0），即a+b=2，（4分） ∴b=2﹣a． 由，得：（5分） ax2+bx﹣2=﹣bx， ∴ax2+（2﹣a）x﹣2=﹣（2﹣a）x， ∴ax2+2（2﹣a）x﹣2=0①； ∵△=4（2﹣a）2+8a=16﹣16a+4a2+8a=4（a2﹣2a+1）+12=4（a﹣1）2+12＞0， ∴方程①有两个不相等的实数根， ∴方程组有两组不同的解， ∴两函数图象有两个不同的交点．（6分） （3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解， ∴x1+x2=﹣，∴x1+x2=﹣，； ∴=； （或由求根公式得出）（8分） ∵a＞b＞0，a+b=2， ∴2＞a＞1； 令函数， ∵在1＜a＜2时，y随a增大而减小． ∴；（9分） ∴， ∴．（10分） |
| 点评： | 此题主要考查的是函数图象交点、根与系数的关系、二次函数的性质以及不等式的应用，能够结合二次函数的性质来解不等式是解决（3）题的关键． |
26．（10分）（2010•长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=x2+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
| 考点： | 二次函数综合题．4707384 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | （1）根据P、Q的运动速度，可用t表示出CQ、OP的长，进而根据OC的长求出OQ的表达式，即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式； （2）四边形OPBQ的面积，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得，进而可得到所求的定值； （3）若△OPQ与△PAB和△QPB相似，那么△QPB必为直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根据相似三角形得到的比例线段求出t的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线BP的解析式；可设M点的横坐标为m，根据直线BP和抛物线的解析式，求出M、N的纵坐标，进而可得到关于MN的长与m的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标；设BQ与直线MN的交点为H，根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标，也就能得到MH的长，以MH为底，B、M横坐标差的绝对值为高，可求出△BHM的面积，进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积，由此可求出它们的比例关系式． |
| 解答： | （1）解：∵CQ=t，OP=t，CO=8， ∴OQ=8﹣t． ∴S△OPQ=（0＜t＜8）；（3分） （2）证明：∵S四边形OPBQ=S矩形ABCO﹣S△CBQ﹣S△PAB ==32；（5分） ∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32；（6分） （3）解：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°， 又∵BQ与AO不平行， ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ， ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分）， ∴=， ∴， 解得：t1=4，t2=8 经检验：t=4是方程的解且符合题意，t=8不是方程的解，舍去；（从边长关系和速度考虑）， ∴QO=4， ∴直线QB的解析式为：y=x+4， 此时P（，0）； ∵B（，8）且抛物线经过B、P两点， ∴抛物线是，直线BP是：（8分）． 设M（m，）、N（m，）． ∵M在BP上运动， ∴ ∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P； ∴当时，y1＜y2（9分） ∴MN=|y1﹣y2| =|m2﹣2m+8﹣（m﹣8）| =m﹣8﹣（m2﹣2m+8） =m﹣8﹣m2+2m﹣8 =﹣m2+3m﹣16 =， ∴当时，MN有最大值是2； ∴设MN与BQ交于H点则，； ∴S△BHM== ∴S△BHM：S五边形QOPMH==3：29 ∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．（10分） |
| 点评： | 此题是二次函数的综合类试题，涉及到矩形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等重要知识点，综合性强，难度较大． |
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