有理函数的不定积分习题

(Now use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 2 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Now use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 3 : Integrate . Rewrite the function and use formula 3 from the introduction to this section. Then 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 4 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that 

, 

or 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Now use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 5 : Integrate . First, use polynomial division to divide by . The result is 

. 

In the second integral, use u-substitution. Let 

so that 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Now use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 6 : Integrate . First, use polynomial division to divide by . The result is 

. 

In the third integral, use u-substitution. Let 

so that 

, 

or 

. 

For the second integral, use formula 2 from the introduction to this section. In the third integral substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Now use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 7 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 8 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that 

. 

In addition, we can "back substitute" with 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Combine and since is an arbitrary constant.) 

. 

SOLUTION 9 : Integrate . First, complete the square in the denominator. The result is 

. 

Now use u-substitution. Let 

so that 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Use formula 2 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 10 : Integrate . First, factor 2 from the denominator. The result is 

(Complete the square in the denominator.) 

. 

Use u-substitution. Let 

so that 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Use formula 3 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 11 : Integrate . Because of the term in the denominator, rewrite the term in a somewhat unusual way. The result is 

. 

Now use u-substitution. Let 

so that 

, 

or 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Use formula 3 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 12 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that (Don't forget to use the chain rule on .) 

, 

or 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , and getting 

(Use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 13 : Integrate . First, rewrite the denominator of the function, getting 

. 

Now use u-substitution. Let 

so that 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , and getting 

(Use formula 2 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 14 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that (Don't forget to use the chain rule on .) 

, 

or 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , and getting 

(Use formula 1 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 15 : Integrate . First, rewrite the denominator of the function, getting (Recall that .) 

. 

Now use u-substitution. Let 

so that 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , and getting 

(Use formula 2 from the introduction to this section.) 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 16 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that 

, 

or 

. 

In addition, we can "back substitute" with 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

(Combine and since is an arbitrary constant.) 

. 

SOLUTION 17 : Integrate . First factor the denominator, getting 

. 

Now use u-substitution. Let 

so that 

. 

In addition, we can "back substitute" with 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 18 : Integrate . First complete the square in the denominator, getting 

. 

Now use u-substitution. Let 

so that 

. 

In addition, we can "back substitute" with 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

. 

In the first integral use substitution. Let 

so that 

, 

or 

. 

Substitute into the first integral, replacing all forms of , and use formula 3 from the beginning of this section on the second integral, getting 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 19 : Integrate . First factor out a 2 and complete the square in the denominator, getting 

. 

Now use u-substitution. Let 

so that 

. 

In addition, we can "back substitute" with 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

. 

In the first integral use substitution. Let 

so that 

, 

or 

. 

Substitute into the first integral, replacing all forms of , and use formula 3 from the beginning of this section on the second integral, getting 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 20 : Integrate . First rewrite this rational function by multiplying by , getting 

(Recall that .) 

. 

Now use substitution. Let 

so that 

, 

or 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 21 : Integrate . Use u-substitution. Let 

so that 

. 

Now rewrite this rational function using rules of exponents. Then 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

. 

Click HERE to return to the list of problems. 

SOLUTION 22 : Integrate . First rewrite this rational function as 

. 

Now use u-substitution. Let 

. 

so that 

, 

or 

. 

In addition, we can "back substitute" with 

. 

Substitute into the original problem, replacing all forms of , getting 

= 

.