【科学备考】2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题：第十章 圆锥曲线 抛物线及其性质]

精品题库试题

理数

1.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（    ）

A．            B．          C．　　D．

 1.  B

 1.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，

在抛物线方程中，令可得，即

从而可得，，

因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，

所以直线的方程为，

故选B．

2.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（   ）

  A.             B. 

  C.             D. 

 2.  D

 2.  因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴

上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.

3. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 10) 在平面直角坐标系中，抛物线: 的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积，则（    ）

A. 2　　B. 4 　　C. 6　　D. 8

 3.B

 3.因为的中垂线过外接圆圆心，所以此直线与准线的距离即为外接圆半径，故=，故.

4. (2014北京东城高三第二学期教学检测，7) 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点, 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（    ）

A.  

B.           

C.   

D. 

 4.D

 4.  由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，两个点连线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得

5.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，10）如图，已知直线l：y=k(x+1) (k> 0) 与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是(  )

(A)  　    (B)            (C)     (D)   2

 5.  C

 5.  设点，则由抛物线的定义可得，整理得①.

联立直线与抛物线方程得，根据根与系数的关系，可得，与①联立得，，所以点，其斜率为.

6.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，10）给定圆: 及抛物线：过圆心作直线, 此直线与上述两曲线的四个交点, 自上而下顺次记为如果线段的长按此顺序构成一个等差数列, 则直线的斜率为（    ）

A．　　　　   B．　　　　   C．　　　　　　D．

 6.  C

 6.  圆P的圆心P（1,0），抛物线的焦点坐标为（1,0）. 由圆P与抛物线的位置关系可得，点A和点D在抛物线上，点B和点C在圆上，因为直线l过圆心，可得BC=2，又因为的长按此顺序构成一个等差数列可得，设点，根据抛物线的定义可知，可得. 显然直线l的斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得.

7.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，11）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（    ）

A．　　Ｂ． 　　Ｃ．　　       Ｄ．

 7.  C

 7.  根据题意可设双曲线的方程为. 根据抛物线的定义可得点M（），设点，则、，两式相减得，因为，则得，即直线l的斜率为.

8.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（    ）

A．0个　　          B．1个　　       C．2个　　        D．4个

 8.  C

 8.  焦点F的坐标为（1,0），准线为x=－1，由圆与相切可设圆的方程为: ，则由题意可得①、②两式联立得，代入到①中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.

9. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，8) 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则的值为   （   ）

A. 　　B. 　　C. 　　D. 12

 9.  B

 9.  由得.

所以. 选B.

10.(2014湖北八市高三下学期3月联考，9) 己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(    )

 A．+1　　    B．2　　    C．　　    D．－1

 10.  A

 10.  由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.

11. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），6) 在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则 (    )        

    (A) 2　　　　 　（B）3　　      （C）　　     （D）

 11.  A

 11.  依题意，设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，

由椭圆的定义知，①

由双曲线的定义知，②

又，，

由①②得，

，即，故.

12. (2014天津七校高三联考, 6) 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（      ）

（A）　　（B）

（C）　　（D）

 12.  D

 12.   由双曲线方程知，实轴长为6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐

标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为4，

故所求的圆的方程为.

13. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 8) 已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若线段的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为 （    ）

A.           

B.         

C.          

D. 

 13.  C

 13.设，由于直线过焦点且斜率为，则其方程为，

联立方程组，消去得，，.

故抛物线的准线方程为.

14. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率（    ）

A.          

B.        

C.         

D.   

 14.   C

 14.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，，解得.

15. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 设F为抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若，则的值为（    ）

（A）3　　　　　　　　（B）4　　　　　　　　（C）6　　　　　　　　（D）9

 15.  C

 15.  由题意可得，点时抛物线的焦点，也是三角形的重心，故，

，再由抛物线的定义可得.

16. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=________.

 16.1+

 16.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,

故C,F,

又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,

从而有即

∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,

又>1,

∴=1+.

17. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.

 17.  y=3

 17.  抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.

18. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，15) 过抛物线：的焦点作直线交抛物线于、两点，若到抛物线的准线的距离为4，则________________. 

 18.

 18.  设，由抛物线的性质：，所以，又，

所以，从而.

19. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 15) 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数_________. 

 19.

 19.由已知可得，从而. 因为，所以，从而渐近线的斜率为，故，得.

20. (2014兰州高三第一次诊断考试, 15) 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，

若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是　　     .

 20.  

 20.  如图，分别过点、作准线的垂线，分别交准线于、，设，则由已知得，由抛物线的定义知，故，

在直角三角形中，，

，，即，

又，，即，

故所求抛物线方程为.

21. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

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 21.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.

所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.

由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.

所以C的方程为y2=4x.(5分)

(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

代入y2=4x得y2-4my-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.

故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).

又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.

将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).

故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)

由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

即4(m2+1)2++=.

化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.

所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)

22. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.

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 22.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.

设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.

∴a=2,b=1.

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).

易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),

代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)

设点P的坐标为(xP,yP),

∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.

由求根公式,得xP=,从而yP=,

∴点P的坐标为.

同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).

∴=(k,-4),=-k(1,k+2).

∵AP⊥AQ,∴·=0,即=0,

∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.

经检验,k=-符合题意,

故直线l的方程为y=-(x-1).

解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.

23.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.

(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;

(Ⅱ)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.

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 23.(Ⅰ)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则

由得A1,

由得A2.

同理可得B1,B2.

所以==2p1,

==2p2,

故=,所以A1B1∥A2B2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.

所以△A1B1C1∽△A2B2C2.

因此=.

又由(Ⅰ)中的=知=.

故=.

24.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,

(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;

(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.

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 24.(Ⅰ)由题意知F.

设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.

因为|FA|=|FD|,

由抛物线的定义知3+=,

解得t=3+p或t=-3(舍去).

由=3,解得p=2.

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知F(1,0),

设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),

因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,

由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).

故直线AB的斜率kAB=-.

因为直线l1和直线AB平行,

设直线l1的方程为y=-x+b,

代入抛物线方程得y2+y-=0,

由题意Δ=+=0,得b=-.

设E(xE,yE),则yE=-,xE=,

当≠4时,kAE==-=,

可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),

由=4x0,

整理可得y=(x-1),

直线AE恒过点F(1,0).

当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),

所以直线AE过定点F(1,0).

(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),

所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.

设直线AE的方程为x=my+1,

因为点A(x0,y0)在直线AE上,

故m=,

设B(x1,y1),

直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),

由于y0≠0,

可得x=-y+2+x0,

代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.

所以y0+y1=-,

可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,

所以点B到直线AE的距离为

d=

=

=4.

则△ABE的面积S=×4≥16,

当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.

所以△ABE的面积的最小值为16.

25. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20) 抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为. 

(1) 求椭圆C2的标准方程；

（2）过A点作直线交C1于C, D两点，连接OC, OD分别交C2于E, F两点，记，的面积分别为, . 问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

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 25.  （1）∵∴焦点∴即……………1分

又∵  ∴    ……………2分

代入抛物线方程得. 又B点在椭圆上得，

∴椭圆C2的标准方程为.　　 ……………4分

（2）设直线的方程为，由得

设，所以……………6分

又因为

直线的斜率为，故直线的方程为，

由得，同理

所以

则，　　……………10分

所以，

所以，故不存在直线使得   ……………12分

26. (2014福州高中毕业班质量检测, 19) 已知动圆过定点, 且与直线相切. 

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）设、是轨迹上异于原点的两个不同点, 直线和的倾斜角分别为和,

①当=时, 求证直线恒过一定点；

②若为定值, 直线是否仍恒过一定点, 若存在, 试求出定点的坐标；若不存在, 请说明理由.

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 26.(Ⅰ) 设动圆圆心, 依题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为.     （3分）

(Ⅱ) 设，. 由题意得(否则) 且,

则，所以直线的斜率存在, 设直线的方程为,

则将与联立消去, 得，

由韦达定理得-------※（6分）

①当=时, 所以,

所以, 又由※知: ，所以；因此直线的方程可表示为, 所以直线恒过定点(－4,0).

②当为定值时. 若=, 由①知,

直线恒过定点，（9分）

当时, 由, 得==

将※式代入上式整理化简可得: , 所以,

此时，直线的方程可表示为y=kx+,

所以直线恒过定点，

所以当时, 直线恒过定点(－4,0).,

当时直线恒过定点.     （13分）

27. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），20) 已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线方程；

（Ⅱ）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、，面积的最小值及此时点的坐标.

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 27.（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，根据题意得：

，化简得. （4分）

（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，

由消去得，

设，则，且，（6分）

以点为切点的切线的斜率为，

其切线方程为，即，

同理过点的切线的方程为，

设两条切线的交点为在直线上，

，解得，即，

则，即，（8分）

代入，

，

到直线的距离为，

，

，

当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）

解法二：设在直线上，点在抛物线上，

则以点为切点的切线的斜率为，

其切线方程为，即，

同理以点为切点的方程为，（6分）

设两条切线的均过点，则，

点、的坐标均满足方程，

即直线的方程为：，（8分）

代入抛物线方程消去可得：，

直线的距离为，

，

当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）

28.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，21）如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点, C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线与抛物线C2分别相交于A、B两点.

（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；   

（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；

（Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线C2上，直线与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．

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 28.  (1) 设抛物线的标准方程为

       由得,

    ;　　　　　　         …………………3分

   (2) 可设, 联立 得 ,

     设

     , 即以为直径的圆过原点;　　  ………………8分

     (3) 设, 则

    得  

   　　　　　　　………………10分

     设椭圆，与直线联立可得：

     ∴长轴长最小值为　　               ………………13分

29.  (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线: 的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且

    （Ⅰ） 求和抛物线的方程;

（Ⅱ） 过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线 的距离取得最大值时，四边形的面积.

 29.查看解析

 29.  （Ⅰ）准线交轴于，在中，

所以, 所以，抛物线方程是 ，           (3分)

在中有, 所以，

所以⊙方程是：   .　　   (6分)

（Ⅱ）解法一：设，

所以切线；切线 ， (8分)

因为和交于点，所以和成立 ，　　    

所以ST方程： ，　　    (10分)

所以原点到距离，当，即在y轴上时有最大值，

此时直线ST方程是 ，

所以，

所以此时四边形的面积 .          (12分)