2014届高考数学(理)一轮复习教案第十章圆锥曲线与方程第3讲 抛物线(苏教版)

考点梳理

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

其数学表达式：MF＝d(其中d为点M到准线的距离)．

2．抛物线的标准方程与几何性质

(1)焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段长度称作焦半径，记作r＝|PF|.

设抛物线方程为：y2＝2px(p>0)，则r＝x0＋；

(2)焦点弦：AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．

则①x1x2＝；②y1y2＝－p2；③弦长l＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，通径最短为2p.

【助学·微博】

　两种方法

(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．

(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)．

一个复习指导

本节内容是每年高考的必考内容，主要考查抛物线的定义、标准方程与几何性质或求轨迹问题、直线与抛物线的综合问题．填空题主要考查抛物线的性质，解答题则重点考查解析几何的思想方法以及数形结合的思想，函数与方程的思想，分类讨论的思想等题型．

考点自测

1．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．

解析　＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.

答案　x2＝－12y

2．(2011·陕西卷改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是________．

解析　由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F(2,0)；②该抛物线的焦准距p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x.

答案　y2＝8x

3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．

解析　据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即PF＝xP＋＝xP＋2＝4＋2＝6.

答案　6

4．(2012·大同调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p值为________．

解析　由题意，直线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，所以－＝－1，p＝2.

答案　2

5．(2012·石家庄质检)抛物线y2＝4x的焦点为F，则经过点F、M(4,4)且与抛物线的准线相切的圆的个数为________．

解析　F(1,0)，准线为x＝－1.由题意，可设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝(a＋1)2，

则由

得该方程组有2解，所以圆的个数为2.

答案　2

考向一　抛物线的定义

【例1】 (1)(2011·辽宁卷改编)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

(2)(2012·安徽改编)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．

解析　(1)

设抛物线的准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知AA1＋BB1＝AF＋BF＝3，则AB的中点到y轴的距离为

(AA1＋BB1)－＝.

(2)设∠AFx＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m.由点A到准线l：

x＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cos θ，∴cos θ＝.

又m＝2＋mcos(π－θ)，∴m＝＝，

∴△AOB的面积S＝×|OF|×|AB|×sin θ＝×1××＝.

答案　(1)　(2) 

[方法总结] 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

【训练1】 (2012·启东模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．

解析　由抛物线的定义知，点P到该抛物线准线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然，当P、F、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于＝.

答案　

考向二　抛物线的标准方程及性质

【例2】 (2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，设D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．

解　(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1.因此，抛物线C的标准方程为y2＝2x.

(2)由(1)可得焦点F的坐标是.又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.

(3)法一　设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.将x＝＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1,2＝.

由|ME|＝2|DM|知1＋＝2(－1)．

化简得k2＝.因此|DE|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(y1－y2)2＝＝(m2＋4m)．

所以f(m)＝ (m>0)．

法二　设D，E.由点M(m,0)及＝2得t2－m＝2，t－0＝2(0－s)．

因此t＝－2s，m＝s2.

所以f(m)＝|DE|＝＝

 (m>0)．

[方法总结] (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

【训练2】 已知抛物线以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且经过点(4,2)．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若M(x0，y0)是(1)中焦点F在y轴上的抛物线C上一点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，求y0的取值范围．

解　(1)因为点(4,2)在第一象限，所以抛物线方程可设为y2＝2p1x(p1>0)和x2＝2p2y(p2>0)．

将点(4,2)的坐标分别代入可得p1＝，p2＝4，所以抛物线方程为y2＝x或x2＝8y.

(2)由条件得抛物线C的方程为x2＝8y，

则F(0,2)，x＝8y，准线l方程为y＝－2.

由题意，得42.

故y0的取值范围是(2，＋∞)．

考向三　抛物线的综合应用

【例3】　 (2012·盐城调研)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，焦点为F.⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO＝OB＝2.

(1)求⊙M和抛物线C的方程；

(2)若P为抛物线C上的动点，求·的最小值；

(3)过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

(1)解　∵＝OA·cos 60°＝2×＝1，

即p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.

设⊙M的半径为r，则r＝·＝2.

∴⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝4.

(2)解　设P(x，y)(x≥0)，

则·＝(2－x)(1－x)＋(－y)×(－y)＝x2－3x＋2＋y2＝x2＋x＋2.

∴当x＝0时，·有最小值为2.

(3)证明　以点Q为圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦．

设点Q(－1，t)，则QS2＝QM2－4＝t2＋5，

∴⊙Q的方程为(x＋1)2＋(y－t)2＝t2＋5.

从而直线QS的方程为3x－ty－2＝0(*)．

∵一定是方程(*)的解，

∴直线QS恒过一个定点，且该定点坐标为.

[方法总结] 本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求，并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．

【训练3】 (2011·江西卷)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且AB＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

解　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＝p，x2＝，

由抛物线定义得：AB＝x1＋x2＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0

可简化为x2－5x＋4＝0，

从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)；

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2 (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0，或λ＝2.

热点突破27　求解与抛物线交汇的问题

由于高考对抛物线这一知识点的要求属于“掌握”这一层次，而且以抛物线为背景的试题中渗透考查了数学的主要数学思想，且高考的考查基于“多思少算”的考虑，所以，以抛物线为背景的解答题在高考中明显增多，因此我们应重视这一知识点的复习．

【示例】  (2012·福建卷)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

　[审题与转化] 第一步：(1)先求出点B的坐标，再代入抛物线方程即可求出参数p的值，从而得所求的抛物线方程；(2)假设在y轴上存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过点M，转化为·＝0，从而判断点M是否存在．

　[规范解答] 第二步：(1)解　依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.

因为点B(4，12)在x2＝2py上，

所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.

故抛物线E的方程为x2＝4y.

(2)证明　由(1)知y＝x2，y′＝x.

设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，

且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.

由得

所以Q为.取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，

以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，

交y轴于点M1(0,1)、M2(0，－1)；

取x0＝1，此时P，Q，

以PQ为直径的圆为2＋2＝，

交y轴于点M3(0,1)、M4.

故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)．

以下证明点M(0,1)就是所要求的点．

因为＝(x0，y0－1)，＝，

所以·＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．

　[反思与回顾] 第三步：本小题主要考查抛物线的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．

高考经典题组训练

1．(2012·辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．

解析　由题意知：P(4,8)，Q(－2,2)，y′＝x，∴切线斜率k＝4或k＝－2.lAP：y－8＝4(x－4)，lAQ：y－2＝－2(x＋2)，

联立消去x，得y＝－4.

答案　－4

2．(2011·新课标全国卷改编)已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，AB＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________．

解析 设抛物线C方程为y2＝2px(p>0)，则由题意，得2p＝12，p＝6，

所以准线方程为x＝－3，所以S△ABP＝×12×6＝36.

答案　36

3．(2010·湖南卷)过抛物线x2＝2py(P>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.

解析　抛物线的焦点坐标为F，则过焦点斜率为1的直线方程为y＝x＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2>x1)．由题意，知y1>0，y2>0.由消去y，得x2－2px－p2＝0，则x1＋x2＝2p，x1x2＝－p2.

∴梯形ABCD的面积为S＝(y1＋y2)(x2－x1)

＝(x1＋x2＋p)(x2－x1)＝×3p

＝×3p＝3p2.∴3p2＝12.又p>0，∴p＝2.

答案　2

4．(2011·全国Ⅰ卷改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝________.　

解析　联立不妨设A在x轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)．∵F点的坐标为(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，∴cos∠AFB＝＝＝－.

答案　－

分层训练A级　基础达标演练

(时间：30分钟　满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.

解析　抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.

答案　－

2．(2012·惠州调研)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝________.

解析　因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.

答案　4

3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p＝________.

解析　抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.

答案　2

4．(2013·广州调研)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．

解析　由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由PM＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10.

答案　10

5．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.

解析　∵y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)，又∵AF＝2，∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，∴xA＝1.即AB⊥x轴，F为AB的中点．∴BF＝AF＝2.

答案　2

6．(2012·福州质检)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.

解析　由于抛物线y＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)．则＝(xA－1，yA)，＝(xB－1，yB)，＝(xC－1，yC)，由＋＋＝0，所以xA＋xB＋xC＝3，则||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝3＋3＝6.

答案　6

二、解答题(每小题15分，共30分)

7．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．

解　由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p＝2c，所以抛物线方程为y2＝4cx.

因为抛物线过点，所以6＝4c·，所以c＝1.

故抛物线方程为y2＝4x.

又双曲线－＝1过点，所以－＝1.

又a2＋b2＝c2＝1，所以代入得－＝1，所以a2＝或a2＝9(舍)，所以b2＝，故双曲线方程为4x2－＝1.

8．(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，化简得y2＝4x(x>0)．

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

设l的方程为x＝ty＋m，由得

y2－4ty－4m＝0，

Δ＝16(t2＋m)>0，于是                                 ①

又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，

·<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝

x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.                                          ②

又x＝，于是不等式②等价于

·＋y1y2－＋1<0⇔

＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0，                              ③

由①式，不等式③等价于

m2－6m＋1<4t2，④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，

都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．

分层训练B级　创新能力提升

1．(2012·徐州一中检测)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使PF＋PA最小，则相应P的坐标为________．

解析　由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所求点P的坐标，此时PF＋PA最小．

答案　

2.  (2012·郑州一测改编)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．

解析　作AM，BN垂直于准线，准线与x轴交点为E，设|BF|＝t，则|BC|＝2t.

则可得＝，即＝，

解得t＝1.又＝，即＝，

∴P＝.∴抛物线方程为y2＝3x.

答案　y2＝3x

3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：

①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是________(填序号)．

解析　因为PF＝MF＝NF，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误：令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．

答案　①③

4．(2012·南京29中模拟)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK＝AF，则△AFK的面积为________．

解析　如图，过点A作AB⊥l于点B(l为准线)，则由抛物线的定义，得AB＝AF.因为AK＝AF，所以AK＝AB，所以∠AKF＝∠AKB＝45°，设A(2t2,4t)，由K(－2,0)，得＝1，得t＝1，所以S△AKF＝×4×4＝8.

答案　8

5．(2012·江苏百校联考)如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆T过点M(2,1)，离心率为；抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M.

(1)当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于OM时，求直线l0的方程；

(2)若斜率为－的直线l不过点M，与抛物线C交于A、B两个不同的点，求证：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

解　(1)由e＝＝，可设椭圆T方程为＋＝1，

将M(2,1)代入可得b2＝2，∴椭圆T的方程为＋＝1.

因此左焦点为(－，0)，斜率kl0＝kOM＝，

∴直线l0的方程为y＝(x＋)，即y＝x＋.

(2)抛物线C的方程为y2＝x.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1＝，k2＝，

kAB＝＝＝－，∴y1＋y2＝－2.

k1＋k2＝＋＝＋

＝＝0，

∴直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

6.  (2012·苏中三市调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1,0)，过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与BC交于点N.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)求证：MN⊥x轴；

(3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1,0)，求证：直线AB过定点．

解　(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，

由题意，得＝1，即p＝2.∴抛物线的标准方程为y2＝4x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>0，y2>0.

由y2＝4x(y>0)，得y＝2，∴y′＝.

∴切线AC的方程为y－y1＝(x－x1)，

即y－y1＝(x－x1)．

整理，得yy1＝2(x＋x1)，①

且C点坐标为(－x1,0)．

同理得切线BD的方程为yy2＝2(x＋x2)，②

且D点坐标为(－x2,0)．

由①②消去y，得xM＝.

又直线AD的方程为y＝(x＋x2)，③

直线BC的方程为y＝(x＋x1)．④

由③④消去y，得xN＝.

∴xM＝xN，即MN⊥x轴．

(3)由题意，设M(1，y0)，代入(2)中的①②，

得y0y1＝2(1＋x1)，y0y2＝2(1＋x2)，

∴A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程y0y＝2(1＋x)．

∴直线AB的方程为y0y＝2(1＋x)．

故直线AB过定点(－1,0).