抛物线切线相关的四条优美性质

90DAO OBC ∴∠=∠= ．

DF BC ⊥∵，

90DFB DFC ∴∠=∠= ，

∴四边形ABFD 是矩形． AD BF ∴=，AB DF =．

在t DFC ΔR 中，CF y x =−，12AB =， 由勾股定理可得

DC ==

又36

y x

=

∵，36xy ∴=，代入上式得DC x y =+， ADO DOC OBC ABCD S S S S ΔΔΔ=++∵四形，

1111

()1266()2222x y x y x y OE ∴+×=×+×++i ， 6OE ∴=，DC ∴是O 的切线．

图1 图2 图3

证法2 由证法一得DC x y =+，连结CO 并延长和AD 的反向延长线交与C ′，如图3，易证

AOC BOC ′Δ=Δ，

从而知AC BC ′=，O 是CC ′的中点，进而知DCC ′Δ是一个等腰三角形，

由三线合一知OD 是ADC ∠的平分线，所以OE OA =，即DC 是O 的切线．

本道题的实质的考查学生切线的证明．兼顾考查学生的数式转化能力，基本的运算能力和数形结合思想，考察的知识点有圆的切线的性质和判定，勾股定理，配方法和四边形的有关性质和判定．

2 试题来源

本题来源于课本，即人教版九（上）P123第14题：如图1，O 的直径12AB =，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设AD x =，BC y =，求y 与x 的函数关系式，画出它的图象．

编拟此题的思路是“以本为本”将这个命题做“逆”，就是改为原命题的逆命题，使学生有“似曾相识”之感．因为切线的证明是许多中考命题者的“真爱”，而其证明一般是两种不同的办法，常见的题型是“连半径、证垂直”．本题是“作垂直、证半径”，而在证明半径的过程中要通过运算的方法找到DC AD BC =+“中途点”．如果学生能顺利地找到，后面的证明就相对容易了．

事实上，若DC 是O 的切线，则必有DC AD = BC +，从而通过利用已经条件中的关系确定“运算的方向”得到这个结果，当然这也需要学生有良好的符号意识，才能将数式顺利转化，此举有利于培养学生“解析几何”的意识．如果能从反比例函数关系式入手，由其几何意义联系到面积，再通过垂线段联系到“高”，再由“高”进而联想到“面积”，本题就能轻松化解．为在试题命制中，如果编拟为纯粹通过推理证明切线，相对来说比较封闭．而将之变成一道必须通过计算的证明，则学生就必须考虑运算的方向，运算的结果的检验和使用，区分度较强，可作为准压轴题使用．

抛物线切线相关的四条优美性质

洪恩锋 辽宁省抚顺市第一中学（113001）

闻杰老师所著的《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》

第143页中有这样一个定理：（下文将其记为引理） 引理 设圆锥曲线的一个焦点为,F 过圆锥曲线外一点A ，引圆锥曲线的两条切线，（双曲线时两条切线切于同一支）切点分别为B ，C ，则AFB ∠= AFC ∠．笔者对该引理颇感兴趣，下文是笔者依据上述引理证明出与抛物线切线相关的4条优美性质，供感兴趣的读者切磋，交流．

性质1 如图1，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过抛物线外一点A 引抛物线的两条切线，切

点分别为B ，C ，则2||||||AF CF BF =⋅． 证明 设00()A x y ，11()B x y ，22()C x y ， 则11:()AB l yy p x x =+，22:()AC l yy p x x =+． 又,AB AC A l A l ∈∈，则010102

02()()y y p x x y y p x x =+⎧⎨=+⎩，

， 即11()x y ，22()x y ，满足00()y y p x x =+，

O A D M N C

E

C ′

O A D M N C

E

O A D M N

2014年第10期 福建中学数学 9

故00:()BC l y y p x x =+．

将直线BC l 与抛物线联立并整理得到，

222

0002()0px px y x px +−+=，

由根与系数关系，

有2001222y px x x p −+=

，2

120x x x =（*） 12||||()(22

p p

CF BF x x ⋅=+⋅+

2

1212()24

p p

x x x x =⋅+++，

将（*）式代入化简得

22222

000

||||()42

p p CF BF x y px x y ⋅=+−+=−+， 又222

00||()2

p AF x y =−+，

2||||||AF CF BF ∴=⋅．

性质2 如图1，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过抛物线外一点A 引抛物线的两条切线，切

点分别为B ，C ，则：

（1）ACF BAF ΔΔ∼；

（2）BAF ABF ∠=∠，ACF CAF ∠=∠． 证明 由引理及性质1易证．

性质3 如图2，设抛物线2

2(0)y px p =>的焦点

为F ，过抛物线上三点A B C ，

，的切线两两交于A B C ′′′，，则||||||||||||FA FB FC FA FB FC ′′′⋅⋅=⋅⋅．

证明 由性质1可知，2||||||AF CF B F ′⋅=，

2||||||AF BF C F ′⋅=，2||||||BF CF A F ′⋅=， 三式相乘，可得

||||||||||||FA FB FC FA FB FC ′′′⋅⋅=⋅⋅． 性质4 如图2，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F 过抛物线上三点A B C ，的切线两两交于A B C ′′′，，则F A B C ′′′，，四点共圆．

证明 由性质2可知A CB F BC F ′′∠=∠=∠， C AB F BA F ′′∠=∠=∠， 则AB C CB F AB F ′′′∠=∠+∠

180BC F BA F C FA °′′′′=∠+∠=−∠， 故A B C F ′′′，，四点共圆．

参考文献

[1]闻杰．神奇的圆锥曲线与解题秘诀．浙江：浙江大学出版社，2013

同课异构活动 助推有效课堂

——以“性检验的基本思想及其初步应用”为例

郭胜光 福建省邵武第一中学（354000）

2014年3月19日，邵武市中青年骨干教师A 和B 分别在邵武第一中学高二年级的两个班级开展了“同课异构”活动，课题为人教A 版高中数学选修2-3中的“性检验的基本思想及其初步应用”．由于两位教师对本节教材有着不同的理解与解读，因而教学设计、知识呈现方式以及教学方法都不尽相同，在课堂教学中各自所展现的教学风格与教学理念也令同行们耳目一新． 1 案例背景 本节课是人教A 版高中数学选修2-3第三章第二单元第一课时的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用．本节课利用性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要内容． 学习性检验的目的是“通过典型案例介绍性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”．这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面的信息，所以具备基本的统计知识已经成为现代人应具备的一种

基本数学素养． 2 两种教学设计 2.1 教师A 的教学设计 2.1.1 创设情境、提出问题 肺癌是发病率和死亡率增长最快，对人群健康

B ′

C ′

A ′

A F

C 图

2