北京市东城区2011-2012学年度高三第一学期期末文科数学答案

高三数学参及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B          （2）D          （3）A            （4）D

（5）C          （6）D          （7）A            （8）B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）1　               （10）                  （11）         

（12）    57        （13）①②                  （14）6

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

 解：（Ⅰ）由已知，

整理得．                          ……………………3分

 因为，

所以.

 故，解得.                            ……………4分

 由，且，得.

 由，即，

 解得.                                       ………………7分

  （Ⅱ）因为，又,

所以，解得.           ………………10分 

        由此得，故△为直角三角形，．………………13分

（16）（共13分）

   解：（Ⅰ）设的公差为，

因为所以

            解得或（舍），．

            故  ，．                   ……………8分

     （Ⅱ）因为，

所以．                   ………11分

           故．

………………13分

（17）（共14分）

 证明（Ⅰ）因为平面， 

所以． 又四边形是正方形，             

所以，，

所以平面, 又平面,

所以.                                         ………………7分

     （Ⅱ）：设与交于，当为中点，

    即时，∥平面．

    理由如下：连接，

因为//平面，平面，平面平面，

所以∥．

在△中,为的中点，

所以为中点．

在△中,，分别为，的中点，

所以∥．

又平面, 平面,

故//平面.                               ………………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当时，，.

          ，．                ………3分

          所以所求切线方程为即．       ……5分  

（Ⅱ）.

           令，得.                        ………7分

由于，，的变化情况如下表：

      要使在区间上单调递增，

应有≤或  ≥，  

解得≤或≥．                                 …………11分

      又  且，                           …………12分

      所以≤．                                        

即实数的取值范围．                    …………13分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）由已知可得，

          所求椭圆方程为．                              ………5分

（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，

由得．      ………7分

则．                        

由已知，

所以，

即．                                ………10分

所以，整理得．

故直线的方程为，即（）．

所以直线过定点（）．                            ………12分

若直线的斜率不存在，设方程为，

设，，

由已知，

得．此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．                    ………13分

（20）（共14分）

  解：（Ⅰ）因为①当时，，

所以方程有实数根0；

②，

所以，满足条件；

由①②，函数是集合中的元素.            …………7分

（Ⅱ）假设方程存在两个实数根），则.

不妨设，根据题意存在，

满足. 

因为，，且，所以.

与已知矛盾.又有实数根，

所以方程有且只有一个实数根.                 …………14分