矩阵特征值的运算性质及推广

摘  要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。

由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用.

关键词： 矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式                             

The Operation Properties and Promotion of Eigenvalue

Cui haiyang    

(Institute of Computer Science, Math)

 Abstract  Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues.

    Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion. 

Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial

1引 言

矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工程计算的核心，已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系强有力的工具.计算机科学和工程问题很多都可以转化成矩阵的运算与求解，特别是计算机普及应用为矩阵论的应用开辟了广泛的前景.

随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数的知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具.半个多世纪以来，计算机已广泛应用于自然科学和工程技术的各个领域，使得矩阵理论的重要性越来越显著，这是因为用矩阵理论和方法解决现代工程技术中的各种问题，不仅表述简洁，便于进行研究，而且更具有适合计算机处理的特点，电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。矩阵理论在各学科领域有广泛的应用，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用.目前在高等院校，矩阵论（或称为矩阵分析、矩阵理论、矩阵方法等）已经列为工科研究生的必修课程.但是对本科学生来说，一般只作为选修课程（也有为数不多的院校把它列为必修课），学生学到的矩阵理论知识与方法非常有限，无法适应现代科学技术的飞速发展.

本课题引入几种在矩阵的理论和计算方法中有重要应用的特殊的矩阵乘法运算，深入讨论矩阵特征值的研究意义，以及矩阵特征值的应用.

2.矩阵特征值的性质与应用

  2.1 矩阵特征值的性质

设是阶方阵,如数与维非零列向量使关系式成立,则称数为方阵的特征值,称为的对应于的特征向量；称为特征多项式，称为特征方程[5].

性质1[6]　设为阶方阵,为的个特征值,则

.

性质2[6]　方阵可逆的个特征值都不为零.

性质3[6]　设为方阵的特征值，为的多项式,则为的特征值.

性质4[6]　不为方阵的特征值.

性质5[6]　(凯莱—哈密顿定理)设阶方阵的特征多项式为

,

则.

性质6[6]　设阶方阵的个特征值为,且为对应的个线性无关的特征向量,记,则

性质7[6]　设为阶实对称阵,是它的个特征值,则

(1)当且仅当都大于零时,正定;

(2)当且仅当都小于零时,负定;

(3)当且仅当都非负,但至少一个等于零时,是半正定;

(4)当且仅当都非正,但至少一个等于零时,是半负定;

(5)当且仅当中既有正数,有又负数时,是不定的.

  2. 2　矩阵特征值的应用

  2. 2. 1 求方阵的行列式以及的多项式的行列式[7].

例1　已知三阶矩阵的特征值为1,-1,2,设,求：

①；②；③.

解: ①由性质1可得；

②因,由性质3可知的特征值为, ,.故.

③的特征多项式为,令,得

，

故：.

例2　设是的特征值, ,求.

解: 因是的特征值,既有,故

.

  2. 2. 2　判断方阵及的可逆性[7].

例 3 设    ,问当为何值时，可逆.

解：因,

故,为的三个特征值,由性质4可知,当时,可逆.

例 4　设矩阵满足,证明可逆.

证明：设,则,因,即有,即

,而,只有,于是,可知3不是的特征值,所以,即可逆.

  2. 2. 3　求方阵,的逆阵及的次幂[7].

例 5 设,求①;②;③.

解： ①,

由性质5有,故

②由,可知0不是的特征值,由性质2知可逆.而

,故

③,故

注：用此法可将都化作的次数小于等于3的多项式,从而简化的计算.

例 6　设3阶方阵的特征值为;对应的特征向量依次为.求(为大于1的整数).

解: 因线性无关,记,由性质6有

所以

故  于是当为偶数时，；为奇数时， 

注：此法当可以对角化时才可使用.

例 7　设3阶实对称阵的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为,求.

解：设对应于3的特征向量为,因实对称阵的不同特征值下的特征向量正交,即有,即的分量满足.又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.

由得它的一个基础解系为.

令，由性质6有.

故    .

  2. 2. 4  求方阵的多项式[7].

例 8 设,计算.

解：，

而，

显然.

由性质5可知，所以

.

  2. 2. 5　判断实对称阵的正定性

例 9　设阶实对称阵正定,则存在矩阵,使,且也是正定矩阵.

证明: 因为实对称阵,故存在正交矩阵,使

，

其中为的个特征值.因正定，故有.于是

令,故有,又因

即与对角阵相似，相似矩阵的特征值相同，故为的个特征值，因，由性质7知正定.

3. 矩阵特征值的推广

  3. 1 分块矩阵的性质

在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明．下面就分块在矩阵特征值问题中的应用进行一些简单的讨论．

对普通矩阵作初等变换相当于在矩阵左（或右）乘一个初等矩阵，同理，我们用广义初等矩阵左（或右）乘一分块矩阵，也就相当于对分块矩阵作一次广义行（或列）初等变换．且对矩阵作若干广义初等变换，其秩也不变．

性质1 设是矩阵,是矩阵,证明的特征多项式与的特征多项式有关系:. [11]

    分析:我们先把上式改写为

因为都是抽象矩阵,我们无法把和直接算出来,但它们是两个行列式的值,我们就不妨构造出两个矩阵来,使得它们的行列式为和,这样,我们构造分块矩阵,要出现行列式,则我们对做初等变换,即左乘一个广义初等分块矩阵

对上式求行列式,得到:

            (1)

同理,右乘一个矩阵

两边取行列式得到:

                    (2)

由(1)和(2)命题得证阶

引理1 设为矩阵,则为幂等矩阵的充分必要条件是,为阶单位矩阵,表示的秩.

引理2  幂等矩阵与或相似,.

性质2 设均为阶方阵,且.若,则的特征值为1或0,且1的个数和它们的秩相等.

分析:因为给出的矩阵并不是具体的,所以我们考虑用分块矩阵初等变换来解这个题目. [12]

证明: (1)可逆时,即,因为,所以,又, ,由已知得,由引理1得到,同样, 

所以是幂等矩阵,由引理2, ,

和, ,有相同的特征值,所以的特征值为1或0,且特征值1的个数和它们的秩相等.

(2) 当时,即,结论显然成立.

(3)设,即为非零又不可逆矩阵.因为,故存在可逆矩阵,使,令

这里 

,从而

这样,且,由(1)的证明可知,存在可逆矩阵,使

设

因为

所以

设

同上可得，故

又，从而（因为上述矩阵的秩为），同样

，

及

故有

综上所述，对于，结论都成立。

从上面的讨论我们知道，对于一些给出的不是具体的矩阵，如果要计算或证明有关它的特征值问题时，我们一般都采用分块矩阵的方法，这样可以使解决过程变得简洁．当然，分块矩阵的应用并不仅仅在于特征值问题上，对于一些求矩阵的逆或者计算行列式等问题时，同样可以用分块矩阵去解决，在这里就不讨论了．

参考文献

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[6] 戴华．矩阵论[M]．北京:科学出版社．2001

[7] 方保镕,周继东等．矩阵论[M]．北京:清华大学出版社．2004

[8] 苏育才,姜翠波,张跃辉．矩阵理论[M]．北京:科学出版社．2006

[9] 曾慕蠡等．油田应用数学（第六卷）[M]．东营:石油大学出版社．1997

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[11] Horn R A, Johnson C R． Matrix Analysis[M]．Cambridge University Press,1985

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[14] 薛长峰．矩阵的Hadamard乘积[J]．江苏:盐城工学院学报（自然科学版）．2009

致谢

时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，春梦秋云，聚散真容易。离校日期已趋临近，毕业论文的的完成也随之进入了尾声。从开始进入课题到论文的顺利完成，一直都离不开老师、同学、朋友给我热情的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!

本学位论文是在我的导师李玉洁讲师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，都始终给予我细心的指导和不懈的支持。不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

其次，本论文的顺利完成，离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助。感谢大学期间生活学习和论文上帮助过我的同学，还要感谢论文参考文献的所有作者给予的知识思路上的指导帮助。

最后，感谢大学期间所有教育、关心和帮助过我的学院领导老师们，正是因为有了你们的支持和鼓励，我的大学生涯才能划上一个完美的句号。