华师大版 变量与函数 教案

维

目

标

(2)了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

(2) 引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式. 

知识内容

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．

问题1 如图是某地一天内的气温变化图．

情景引导

学生回忆,并巩固所学知识

知识内容

(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；

(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；

(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？

问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

(让A层学生举出生活中实例并适当的加以鼓励)

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．

让学生充分思考,互相交流,并让学生代表回答问题

解 随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题

观察上表回答：

(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?

(2)波长l越大，频率f 就________．

解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即

lf＝300 000，

或者说                           ．

(2)波长l越大，频率f 就　越小　．

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括。

知识内容

利用关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：

圆的半径越大，它的面积就_________． 

圆的半径越大，它的面积就越大．

    问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？引导学生观察发现：是量的数值变与不变．（归纳变量与常量的定义并板书）

在其他二个问题中有哪些是变量?哪些是常量?  

2、学生再次观察问题1、2、3、4变化过程，寻找共同之处：⑴

一个变化过程，⑵两个变量，⑶一个量随另一个量的变化而变化．若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系．

问：上述第三条描述了两个变量的关系，具体地说是什么意思？    

以问题4说明：对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应．引出“自变量”、“函数”．（归纳自变量与函数的定义并板书）

在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地就确定另一个变量（因变量）的值．

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量，如问题3中的300 000，问题4中的π等． 

    3、问：上述4个问题中在表示函数的方法上有什么区别？

解析法：如问题3、4等式；列表法：问题2、3的表格；图象法：如问题1的气温曲线图．

例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?

解(1)平均身高是146.1cm

(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；

(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量． 

培养学生提高把文字叙述转化为数学语言的能力

知识内容

(1)圆的周长C与半径r的关系式；

(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；

(3)n边形的内角和S与边数n的关系式．

题例分析

学生先画。试着写出作图步骤

解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；

(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量；

(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量．

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括

让学生感悟提高观察能力和提出问题的能力

1.函数概念包含：

(1)两个变量；

(2)两个变量之间的对应关系．

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．

3.函数关系三种表示方法：

(1)解析法；

(2)列表法；

(3)图象法．

2.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

(1)每个同学购一本代数课本，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；

(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系．

3.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．

知识内容

1．本节课是在学生已有的知识基础上，教师（或学生）提出适当的数学问题，通过师生之间或生生之间互相讨论、学习、探究，在问题解决过程中活化知识、启动思维，运用有关知识进行解题。掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义； 

2．本节课始终以学生为中心，教师作为教学活动的组织者，引导者，合作者，引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.  体现“动手实践，自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”这一思想，教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。

维

目

标

(2) 掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

(2) 联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法． 

增强对图形欣赏的意识。

知识内容

问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．

解 如图能发现涂黑的格子成一条直线．

函数关系式：y＝10－x．

情景引导

学生回忆,并巩固所学知识

知识内容

问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分

面积ycm2与MA长度x cm

之间的函数关系式． 

解 y与x的函数关系式：y＝180－2x．

解 y与x的函数关系式：．

⑴ 探索1：在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有吗？

如果有，写出它的取值范围．

(让A层学生举出生活中实例并适当的加以鼓励)

归纳1：上面例子中的函数，都是利用解析法表示的．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义．

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题

⑵ 探索2：在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流及反馈情况加以总结并引导学生得出结论

学生思考,探索交流,并尝试解题

归纳2：对于问题1中的函数，当自变量时，对应

的函数y的值，则把7做这个函数当时的函数值

学生在教

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括。

知识内容

例1 求下列函数中自变量x的取值范围：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷．

例2 在问题3中，当MA=1 cm时，重叠部分的面积是多少?

分析　函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．

加问：你能从这些解析式中概括出确定自变量x的取值范围的一些特点吗？

解：⑴ 函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

⑵ 函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

⑶ 函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

解:设重叠部分面积为y cm2，MA长为x cm， y与x之间的函数关系式为．当时，，所以当MA=1 cm时，重叠部分的面积是cm2．

师引导下

主动学习

并积极思

考相关问

题，并作

出概括

让学生感悟提高观察能力和提出问题的能力

1.求函数自变量取值范围的两个依据：

(1)要使函数的解析式有意义．

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

知识内容

(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；

(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．

2.求下列函数中自变量x的取值范围：

(1)y＝－2x－5x2；      (3) y＝x(x＋3)；

(3)；          (4)．

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

(1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2； (3)．

维

目

标

2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；

3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．

2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.

如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．

二、探究归纳

问题1 例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？

解 因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．

问题2 在教室里，怎样确定一个同学的座位？

解 例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．

问题3 要在一块矩形ABCD(AB＝40mm，AD＝25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求：

(1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm，

(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm．

试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？

分析 圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5 mm，所以圆心O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点（圆心O）的位置要有两个数(20和10)．

在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系(rightangled coordinates system)．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．

在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标(abscissa)；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标(ordinate)．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3,2)，称为点P的坐标(coordinates)．这时点P可记作P(3,2)．　　在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．

三、实践应用

例1 在上图中分别描出坐标是(2,3)、(－2,3)、(3,－2)的点Q、S、R，Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗？S(－2,3)与R(3,－2)是同一点吗？

解 Q(2,3)与P(3,2)不是同一点；

S(－2,3)与R(3,－2)不是同一点．

例2 写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答：(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征？

(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？

解 A(－1,2)、B (2,1)、C (2,－1)、D (－1,－1)、E (0,3)、F (－2,0)．

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；

在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；

在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；

(2)x轴上点的纵坐标等于零；

y轴上点的横坐标等于零．

说明 从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．

例3 在直角坐标系中描出点A(2,－3)，分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：

(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

(2)关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？

解

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．

例4 在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？

分析　如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则OM为负值，MP也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若P点为第二、四象限角平分线上任一点，则OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数．

解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；

(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数．

四、交流反思

1.平面直角坐标系的有关概念及画法；

2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；

3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；

4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．

五、检测反馈

1.判断下列说法是否正确：

(1)(2，3)和(3，2)表示同一点；

(2)点(－4，1)与点(4，－1)关于原点对称；

(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；

(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．

2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？

3.指出下列各点所在的象限或坐标轴：

A(－3,－5)，B(6,－7)，C(0,－6)，D(－3,5)，E(4,0)．

4.填空：

(1)点P(5,－3)关于x轴对称点的坐标是    　   ；

(2)点P(3,－5)关于y轴对称点的坐标是　　　　　；

(3)点P(－2,－4)关于原点对称点的坐标是　　　　　．

5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三)．请至少说出图中四个棋子的“位置”．

维

目

标

2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题．

问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．

问 图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？

答 横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离．

问 如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？

答 P的坐标是(3,90)．表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．

我们能否从图象中看出其它信息呢？

二、探究归纳

看上面问题的图，回答下列问题：

(1)小强让爷爷先上多少米？

(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？

分析 (1)小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段．由于从小强开始爬山时计时的，因此这时爷爷爬山所用时间是0，而x轴表示爬山所用时间，得x＝0．可在线段上找到这一点A（如图）．A点对应的函数值y＝60．

(2) y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值．可分别在这两条线段上找到这两点B、C（如图），过B、C两点分别向x轴、y轴作垂线，可发现交y轴于同一点Q（因为两人爬的是同一座山）, Q点的数值就是山顶离山脚的距离，分别交x轴于M、N，M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶．

解 (1)小强让爷爷先上60米；

(2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶．

归纳 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义．如图中的点P(3,90)，这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境．如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大，函数值y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x达到最大值时，也就是到达山顶．

三、实践应用

例1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式击球，球正好进洞．其中，y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离．

(1)试画出高尔夫球飞行的路线；

(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？

分析 (1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数的图象，用描点法画出图象．在列表时要注意自变量x的取值范围，因为x是球飞出的水平距离，所以x不能取负数．在建立直角坐标系时，横轴（x轴）表示球飞出的水平距离，纵轴（y轴）表示球的飞行高度．

(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y取最大值的点，如图点P，点P的纵坐标就是高尔夫球的最大飞行高度；球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点，如图点O和点A，点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离．

解 (1)列表如下：

在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象．

(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m，球的起点与洞之间的距离是8 m．

例2 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．

分析 从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段．

线段OA：O点的坐标是(0,0)，因此O点表示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大，y值也逐渐增大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是(3,250)，说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏．

线段AB：观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变（小明这段时间离家的距离没有改变），B点横坐标是8，说明小明在阅报栏前看了5分钟报．

线段BC：观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C点的坐标是(10,450)，说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处．

线段CD：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所用时间越长，离家的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0，表示小明已到家．这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟．

解 小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家．

四、交流反思

1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；

2.在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义．然后观察图形，分析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境．

五、检测反馈

1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：

(1)从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？

(2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？

2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是(     )．

3.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．

(1)写出y与x的函数关系式；

(2)求自变量x的取值范围；

(3)画出这个函数的图象．

4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题：

(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？

(2)小李何时第一次休息？

(3)10时到13时，小骑了多少千米？

(4)返回时，小李的平均车速是多少？