具有间隙的动力系统的极限环

具有间隙的动力系统的极限环Ξ

吴　焕　芹

(大连舰艇学院数学教研室,116013)

李　　骊

(北京工业大学力学系,100022)　

陈　秀　东

(大连理工大学数学科学研究所,116024)

摘　要　本文研究了系统xβ+f(xα)+g(x)=0的极限环的存在性,其中g(x)有两个间断点并且不满足g(x) x>0(x≠0).还引进[2,3]中定义的Филиппов解的概念,利用

Филиппов解的整体存在性和普遍唯一性定理解决方程的解的存在唯一性问题,得到了几个极

限环存在性定理.

关键词　Филиппов解,状态函数,特征点,极限环.

分类号　AM S(1991)34C05 CCL O175.12

1　引　言

常微分方程的连续系统的极限环问题一直有人研究,其结果甚多,而对具有间隙动力系统的极限环问题结果却不多,尤其是具有不连续动力系统的情形结果更少.事实上,在许多实际问题中,经常会遇到具有的间隙动力系统.如[1]中讨论的方程

x

β+f(xα)+g(x)=0,

其中f(xα)=-Αxα+Βxα3,Α,Β>0,

g(x)=Ξ2(x-e),x>e>0, 0, x ≤e,Ξ2(x+e),x<-e,

就是轧钢机的轧辊所服从的运动方程,这个方程极限环的存在唯一性提供了轧钢机工作的理论依据.

文[2,3]中引进了不连续系统的Филиппов解,并给出了不连续系统52解的整体存在性和普遍唯一性定理及平面上的比较定理,为研究不连续系统的极限环在解的存在唯一性方面打下了基础.

本文考虑方程

x

β+f(xα)+g(x)=0,(3)其中f(xα)是xα的连续函数,g(x)可表为:

Ξ1994年10月15日收到.g(x)=g1(x),　x>e1>0,

g0(x),　-e2≤x≤e1, g2(x),　x<-e2<0,

其中g0(x)为x∈[-e2,e1]上的连续函数,g1(x)为x∈(e1,+∞)中的连续、非负、单增函数,g2(x)为x∈(-∞,-e2)中的连续、非正、单增函数.

把(3)化成

x

α=-y,

y

α=f(-y)+g(x).(1.1)设f(-y),g(x)总是满足[2,3]中不连续系统的52解的整体存在性和普遍唯一性定理的条件,并且f(0)=0,那么{(x,0) g(x)=0}为系统的奇点集.设至少有一个x使g(x)=0,否则系统没有平衡点从而没有极限环.这里考虑(3)包含所有奇点的极限环存在性问题.

交换(1.1)中x,y得

x

α=f(-x)+g(y),

y

α=-x.(1.2)作Филиппов变换z=∫x0§d§得:

d z d y =-f(-2z)-g(y)=

△

F1(z)-g(y),x≥0,(1.3)1

d z d y =-f(2z)-g(y)=

△

F2(z)-g(y),x<0.(1.3)2

　　因方程有不连续的右端,引用[2,3]中定义的52解,则以上各方程的52解整体存在且唯一.

因方程的右端分成三段,可以研究三个服从不同方程的运动,并将把下一运动的初始位置与上一运动的最终位置“缝接”起来.

2　用特征点的方法研究极限环的存在性

考虑-e2≤y≤e1时的情形,方程(1.3)i变为

d z

d y

=F i(z)-g0(y)　(i=1,2),(2.1)i 引进比较方程

d z

d y

=F i(z)-M0　(i=1,2),(2.1)′i

d z

d y

=F i(z)-m0　(i=1,2),(2.1)″i

其中M0=m ax

-e2≤y≤e1g0(y)<+∞,m0=m in

-e2≤y≤e1

g0(y)>-∞.

设总存在z i0>0,使得(2.1)i过(z i0,e1)的积分曲线在-e2≤y≤e1上整个落在y轴右端且与y=-e2相交,以后均假设这两条积分曲线弧右端存在一个区域,从这区域出发的(2.1)i, (2.1)′i,(2.1)″i的积分曲线均在y轴右端与y=e1和y=-e2相交(其实这个要求并不算苛刻),

由解的存在唯一性知在这些与y =e 1和y =-e 2相交的积分曲线簇上每个y 对应唯一一个

z ,分别形式地记过(z 0,y 0)的(2.1)i ,(2.1)′i ,(2.1)″

i 的积分曲线在y 处对应的z 值为z i =z i (y ,

z 0,y 0),z i =z ′

i (y ,z 0,y 0),z i =z ″

i (y ,z 0,y 0).因为

F i (z )-M 0≤F i (z )-g 0(y )≤F i (z )-m 0,

所以d z dy (2,1)′i ≤d z dy (2,1)i ≤d z dy (2,1)″i

,由比较定理得对Πz 0>0当y ≤y 0时,z ′

i (y ,z 0,y 0)≥z i (y ,z 0,y 0)≥z ″

i (y ,z 0,y 0).

当y ≥y 0时,z ′i (y ,z 0,y 0)≤z i (y ,z 0,y 0)≤z ″i (y ,z 0,y 0).

补充定义g 1(y ),g 2(y )在[-e 2,e 1]上等于零,假定g (±∞)=±∞.记

Q i (y ,p )=p y -∫

y

g i

(§)d §,　i =1,2.

因d 2

Q i (y ,p )d t

2

≠0,y ∈(-∞,-e 2)∪(e 1,+∞),i =1,2,对任意给定的Q i (y ,p )和p 在(-∞,+∞)上至多有两个y 与其对应,且若(z 0,y 0)满足z 0+c =Q i (y 0,p ),则z ≤z 0时有两个y 满足

z +c =Q i (y ,p ),这样z +c =Q i (y ,p )有两支解,记大的那一支为Q -1

i +(Q i (y ,p ),p ),小的那一

支为Q -1i -(Q i (y ,p ),p ).为使定理1叙述简便,对Αi ,Βi (i =1,2)定义如下:

定义1　对z i 1>z 0(i =1,2),记m 1=m in 0≤z ≤z 11

F 1(z ),M 2=m ax 0≤z ≤z 21

F 2(z ),a 1=m in{m 1,

li m y →-e 2-0

g 2(y )},b 1=g -12(a 1),a 2=m ax{M 2,li m y →e 1+0

g 1(y )},b 2=g -11(a 2),Αi ,Βi (i =1,2)分下面

6种情况定义:

(1)当F 1(z 11)>m ax{M 0,li m y →e 1+0

g 1(y )}时,记z λ11=z ′1(-e 2,z 11,e 1),定义Α1=Q

-1

1+(m 1g -11(F 1(z 11))-∫

g -1

1(F 1(z 11))

g 1(§)d §-z 11,m 1),

Β1=Q -12-1(m 1b 1-∫

b 1

g 2

(§)d §-z

λ11,m 1);　　(2)当F 1(z 11)≤M 0时,记z =

11=z 11-m 1(b 1+e 2)+∫

b 1

-e 2

g 2(§)d §,z

λ11=z ′

1(e 1,z =

11-e 2),定义

　　　　　　Α1=Q -11+(m 1e 1-

z λ11,m 1),Β1=Q

-1

2-(m 1b 1-

∫

b 1

g 2

(§)d §-z 11,m 1);

(3)当li m y →e 1+0

g 1(y )>M 0,M 0g 1(y )时,记z λ11=z ′1(-e 2,z 11,e 1),定义　　　　　　　Α1=Q -1

1+(m 1e 1-

z 11,m 1),Β1=Q -12-(m 1b 1-∫

b 1

g 2

(§)d §-z

λ11,m 1);(4)当F 2(z 21)li m y →-e 2-0

g 2(y )}时,记z λ21=z ″2(e 1,z 21,-e 2),定义　　　　Α2=Q

-1

1+(m 2b 2-∫b 2

g 1

(§)d §-z

λ21

,M 2

),Β2=Q

-12-

(M 2g

-12

(F 2(z 21

))-∫g -1

2(F 2(z 21))

g 2

(§)d §-z 21,M 2);

(5)当F 2(z 21)≥m 0,记z =

21=z 21-M 2(b 2-e 1)+

∫

b 2

e 1

g 1(§)d §,z

λ21=z ″

2(-e 2,z =

21,e 1),定义

　　Α2=Q -1

1+

(M 2b 2-

∫

b 2

0g 1(§)d §-z 21,M 2),Β2=Q -1

2-(-M 2e 2-

z

λ21,M 2);(6)当m 0>

li m y →-e 2-0

g 2(y ),li m y →-e 2-0

g 2(y )≤F 2(z 21)1+

(M 2b 2-∫

b 2

g 1(§)d §-

z

λ21,M 2),Β2=Q -12-(-M 2e 2-z 21,M 2).

定理1　假设

1)　f (x

α)∈C 0(-∞,+∞),f (0)=0,g (±∞)=±∞,且至少有一个x 满足g (x )=0,f (x

α),g (x )满足不连续系统52解的整体存在性和普遍唯一性条件;2)　存在z 0>0,且经过(z 0,e 1)的

d z

d y

=-g 0(y )在[-e 2,e 1]上的积分曲线整个落在y 轴右端,并在z ∈[0,m ax -e 2≤y ≤e 1z (y ,z 0,e 1)](z =z (y ,z 0,e 1)为d y

d z

=-g 0(y )的解)上有:F 1(z )≤

0≤F 2(z ),F 1(z ) F 2(z );

3)　定义1的Αi ,Βi (i =1,2)满足Α1>Α2,Β1>Β2,则系统(3)至少存在一个稳定环

.D 1

C 1

图

1

D 2

C 1C 1E 1

D 2

F 2(z )=g (y )

A 2

A 1A 1b 1A 2e 2O

e 1

b 2B 1B 2B 2C 2

C 2

D 1

E 2D 1

F 1(z )=g (y )

B 1证明　先做外境界线,只需证明特征曲线g (y )=F 1(z )的过(z 11,y 01)(这里y 01对1),2),3)三种情况分别对应不同的值)的上特征点的纵坐标不小于Α1,下特征点的纵坐标不小于Β1;特征曲线g (y )=F 2(z )的过(z 21,不大于Α2,下特征点的纵坐标不大于Β2,由Α1>Α2,Β1>Β2即可做成外境界线.

1)　F 1(z 11)>m ax{M 0,li m y →e 1+0

g 1(y )},过

D {1(z 11,g -1

1(F 1(z 11)))做

d z

d y

=m 1-g 1(y )的积分曲线#1,则#1交正y 轴于B

ϖ1,因为d z

d y

=m 1-g 1(y ),

(2.2)″1

所以z +C =m 1y -∫

y

g 1

(§)d §,即z 11

+C =m 1g -1

1(F 1(z 11))-

∫g -1

1(F 1(z 11))

g 1

(§)d §.(2.

2)″1

与正y 轴交点的纵坐标y B

ϖ1

=Q

-1

1+(0+C ,

m 1)=Α1,由比较定理得过D {

1的(1

.3)1的上特征点的纵坐标不小于Α1.再过D {1做(2.2)″

1的积

分曲线交y =e 1于D =

1,过D =

1做(2.1)′1的积分曲线交y =-e 2于C =

1,则z (C =

1)≤z λ11≤z 11,过C =

1的(1.3)1的积分曲线与负y 轴的交点的纵坐标不小于过E ϖ1(z

λ11,b 1)的d z

d y

=m 1-g 2(y )

(2.2)″2

的积分曲线与负y 轴交点的纵坐标y A ϖ1,y A ϖ1

=Β1.2)　F 1(z 11)≤M 0,过E 1(z 11,b 1)做(2.2)″2的积分曲线交负y 轴于A ϖ1,则y A ϖ1

=Β1.再过E 1作(2.2)″2的积分曲线交y =-e 2于C θ1,z (C θ1)=z =

11,过C θ1做(2.1)′1的积分曲线交y =e 1于D {1,则z (D {1)=z λ11,过D {1做(2.2)″1的积分曲线交正y 轴于B ϖ1,y B ϖ1

=Α1,由比较定理知特征曲线g (y )=F 1(z )的过E 1(z 11,b 1)的上特征点的纵坐标不小于Α1,下特征点的纵坐标不小于Β1

.3)　li m y →e 1+0

g 1(y )>M 0且M 0g 1(y ).过D {1(z 11,e 1)做(2.2)″

1的积分曲线

交正y 轴于B ϖ1,y B ϖ1

=Α1,过D {1做(2.1)′1的积分曲线交y =-e 2于C θ1,则z (C θ1)=z λ11≤z 11,过E ϖ1(z λ11,b 1)做(2.2)″2的积分曲线交负y 轴于A ϖ1,则y A ϖ1

=Β1.由比较定理和解的存在、唯一性知过D {1的F 1(z )=g (y )的上特征点的纵坐标不小于过Α1,下特征点的纵坐标不小于Β1.可以对称地得到F 2(z )=g (y )的过(z 21,y 02)的上特征点的纵坐标不大于Α2,下特征点纵坐标不大于Β2.

下面作内境界线:过D 1(z 0,e 1)作

d z

d y

=-g 0(y )的解交y =-e 2于C 1,分别过D 1(z 0,e 1)做(1.3)i 的上半积分曲线交正y 轴于B i ,分别过C 1做(1.3)i 的下半积分曲线交负y 轴于A i ,(这

里因为条件(2)及经过外境界线上的任意一点的(1.2)的轨线只能由外部穿到内部),且y B 2>

y B 1,y A 2>y A 1,回到(x ,y )平面上闭曲线A 1A 2D 1B 2B 1D 1A

1

便可作为环域定理的内境界线.

3　用状态函数的方法研究极限环的存在性

图2

F (z )=g 1(y )

Z

C 1

C 1

-F (z )=g 2(y )

A 1

A 1e 1O e 1

D 1

D 1(z 1,g 11(F (z 1)))

y =y (z )

B 1

下面假设F i (z ),g (y )除满足引言中假设外还满足:e 1=e 2;F 1(z )=-F 2(z )=△

F (z ),z ≥0;F (z ),g i (y ),i =1,2,连续可微;g (y )为(-∞,+∞)上的奇函数.

考虑方程

d z

d y

=F (z )-g (y ).

(3.1)

　　设Κi (z ,y )=(F (z )-g i (y ))2 2,则d Κi d z

(3.1)

=(F (z )-g i (y ))(F ′(z )-g ′i (y )

1

F (z )-g (y )

),

如存在z 1>z 0,F (z 1)≥li m y →e 1+0

g 1(y ),且过(z 1,e 1)

的(3.1)的积分曲线交y =-e 2,设过D {1(z 1,

g -11(F 1(z 1)))的(3.1)的积分曲线交正y 轴于B ϖ1,交y =e 1于D =

1,交y =-e 2于C =

1,然后交负y 轴于A =1.取z (C θ1)≥z (C =

1),若过C θ1(z (C θ1),-e 2)的(3.

1)的积分曲线交负y 轴于A ϖ1,则y A ϖ1≤y A =1

.用y =y (z )记(3.1)过D {1的上半积分曲线,用y =y θ(z )过C θ1的下半积分曲线,有:

∫D

{1B ϖ1

d Κ1=

∫0

z 1

[-g ′1(y )+F ′(z )(F (z )-g 1(y ))]d z =g 21(y B ϖ1

) 2,　　　

∫A ϖ1C

θ1

d Κ2

=∫z (C θ1

)0

[-g ′

2(y θ)+F ′

(z )(F (z )-g 2(y θ))]d z

=[F (z (C θ1))-li m y →-e 1-0g 2(y )]2 2-g 22(y A ϖ1

) 2≤[F (z (C θ1

))-li m y →-e 1-0

g 2(y )]2 2-g 22(y A =

1)

2,所以g 21(y B ϖ1

) 2-g 21(y A =1) 2≥∫

D

{1B ϖ1

d Κ1+

∫

A

ϖ1C θ1

d Κ2-

12

[F (z (C

θ1))-li m y →-e 1-0

g 2(y )]2

定理2　条件(1),(2)同定理1.

(3)　若存在z 1>z 0,F (z 1)>li m y →-e 1-0

g 1(y ),且过(z 1,g -11(F (z 1)))的(3.1)的积分曲线交

y =-

e 2,还存在z (C θ1)≥z (C =

1),使得

∫

D

{1B ϖ1

d Κ1+

∫

A

ϖ1C θ1

d Κ2-

[F (z (c

γ1))-li m y →e 1-0

g 2(y )]2 2≥0,

则系统(3)至少存在一个包含所有奇点的稳定环.

可以对称地讨论F (z 1)