2009复旦交大清华北大南大浙大自主招生数学试题

2009年浙江大学自主招生考试

数学试卷

   1、（本小题满分20分）已知，设二次函数，其中均为实数．证明：对于任意，均有成立的充要条件是．

   2、（本小题满分20分）数列满足条件：，（）．试证明：

（I），；

（II），且．

   3、 （本小题满分20分）现有如下两个命题：

命题：函数既有最大值，又有最小值．

命题：直线与曲线有公共点．

若命题“或”为真，且命题“且”为假，试求的取值范围．

   4、（本小题满分20分） 现有由数字排列而成的一个五位数组（没有重复数字）．规定：前个数不允许是的一个排列（如就不可以，因为前三个数是的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个?

   5、（本小题满分20分）双曲线（，）的离心率为，，

两点在双曲线上，且．

（I）若线段的垂直平分线经过点，且线段的中点坐标为，试求的值．

（II）双曲线上是否存在这样的点与，满足?

2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题

一、填空题（每小题7分，共70分）

1、已知为一正整数，并且能被7整除，则的所有取值为________.

2、不等式的解是________.

3、设是一模长大于1的复数，并且满足，则=________.

4、已知，，则的值域为________.

5、方程的解集为________.

6、将1，2，3，4，5，6，7，8，9进行排序，则1，2不在原来位置上的概率p=________.

7、数列中相邻的两项是二次多项式的两个根，并且已知，则=________（用表示）.

8、圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖。A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫。若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬________cm.（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）

9、在△ABC中，，则AB边上的高为________．

10、设，与的夹角为，则以与为邻边的平行四边形的面积为________.

二、（20分）

已知P为△ABC内一点，，点P到三边BC，CA，AB的距离分别为，S表示△ABC的面积，求证：.

三、（20分）

找出所有满足的非直角三角形△ABC.

四、（25分）

在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点作该圆的切线BP和CP，并相交与P。设点C在∠BPC的角平分线上的投影为Q。

（1）求点P的轨迹方程，并求其横坐标的取值范围；

（2）求点Q的轨迹方程，并求其横坐标的取值范围。

五、（20分）

已知四面体ABCD，平面π平行于直线AB和CD，并且平面π与四面体ABCD的截面为四边形EFGH（如图），平面π到直线AB，CD的距离分别为。设，计算五面体AEHBFG的体积与四面体ABCD的体积之比（用k表示）.

六、（20分）

解方程

七、（25分）

设为实数集，找出所有定义在上且使得

对所有实数x，y都成立的函数f（x）

适用高校:复旦大学

1.若x>y>1,0A.>    B.<    C. >    D.<

2.设a>0,a1,函数f(x)=在(1,+)上单调递减，则f(x)_________.

A. 在(−，−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递增

B. 在(−，−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递减

C. 在(−，−1)上单调递增，在(−1,1)上单调递增

D. 在(−，−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递减

3.若要求关于x的函数lg的定义域是()，则a，b的取值范围是________.

A.       B.a<0      C.−4a<0      D.a=b=0

4.设是有理数集，集合X={X|X=2+，a，b}，在下列集合中(1){2x|x};(2){x/};(3){1/x| x } ;(4){x2|x }中和X相同的集合有________个.

A.4个    B.3个    C.2个    D.1个

5.设x,y,z>0满足xyz+y+z=12，则++的最大值是________.

A.3    B.4    C.5    D.6

6.定义全集X的子集A的特征函数为fA(X)= ,这里，表示在A在X中的补集，那么，对A,B，下列命题中不准确的是_________

A. A    B.(x)=1−,

C.(x)=,        D.(x)=+,

7.如果一个函数f(x)在其定义区间对任意x,y都满足,则称这个函数是下凹函数，下列函数

(1)f(x)=2x    (2)f(x)=x3           (3)f(x)=(x>0)       (4)f(x)= 

中是下凹函数的有_______.

A.(1)(2)      B.(2)(3)      C.(3)(4)      D.(1)(4)

8.若实数x满足对任意正数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是________.

A.(−1,1)     B.[−1,1]     C.(−)     D.不能确定

9.设函数y=的图像是曲线C，曲线C1和C2关于直线x=1对称，曲线C2和C1关于直线y=x对称，则C2是下列哪个函数的图像？

A.y=1−2lg x     B.y=2−2lg x     C.y=2lg x+1     D.y=2lg x+2

10.下列曲线中哪一条拿住两端后不打结？________.

A.  B.                   C.                  D.

11.用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠)，有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？______.

A.2种     B.3种     C.4种     D.5种

12.一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k:1(k>1)，则这个菱形的一个小于的内角等于__________.

A.arctan()    B.arctan    C.arctan()    D.arctan

13.设a,b是实常数，则二元一次方程组无解的充分必要条件是______.

A.2a+b=0且a    B.2a+b=0且a+b−1    C.a=1,b=−2或a=−1，b=2    D.2a+b=0

14.已知关于x的方程+2=a在区间(0,2π)内有两个不同的根，则常数a的取值范围是________.

A.(−1,3)    B.(−1,2)(2,3)    C.[−1,3]    D.[−1,2)2,3]

15.设X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，定义X上的运算符如下：对任意m,nmn等于m+n除以10的余数，给定初值n0X,记n1=n0n0,nk=nk−1n0,k=1,2,3……,则使得数列{nk}取遍X中所有元素的初值n0的集合是_______.

A.      B.X     C.{1,3,9}     D.{1,3,7,9}

16.“要使函数f(x)成立，只要x不在区间[a,b]内就可以了”的意思是_________.

A.如果f(x),则x[a,b]    B.如果x[a,b],则f(x)<0    C.如果x[a,b],则f(x)    D.前面三个解释都不准确

17.实轴R中的集合X如果满足：任意非空开区间都含有X中的点，则称X在R中稠密，那么，“R中集合X在R中不稠密”的充分必要条件是_________.

A.任意非空开区间都不含有X中的点        B.存在非空开区间不含有X中的点

C.任意非空开区间都含有X的补集中的点    D.存在非空开区间含有X的补集的点

18.某种细胞如果不能而死亡，并且一个细胞死亡和为两个细胞的概率都为1/2，现在有两个这样的细胞，则两次后还有细胞存活的概率是________.

A.    B.     C.      D. 

19.设有n+1个不同颜色的球，放入n个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有_______.

A.(N+1)!种    B.n(n+1)!种    C. (n+1)!种    D. n(n+1)!种

20.设X是含n(n>2)个元素的集合，A,B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m,k(m,k)个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集个数是_________.

A.       B.        C.        D.

21.三棱柱ABC−A’B’C’的底是边长为1的正三角形，高AA’=1，在AB上取一点P，设三角形PA’C’与底的二面角为,三角形PB’C’与底的二面角为，则tan()的最小值为_______.

A.    B.    C.    D. 

22.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是________.

A.R.    B.R    C.R    D.R

23.平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值情况是_________.

A.只有唯一值    B.可取两个不同值    C.可取三个不同值    D.可取无穷多个值

24.设三角形ABC的三边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A的坐标是(0,0)，B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是_______.

A.    B. 

C.    D. 

25.设实数a,b,c0,成等差数列，则下列不等式一定成立的是______.

A.|b||ac|    B.b2|ac|    C.a2    D.|b|

26.已知x2−(tan)x+1=0(0<<π)，且满足x+x3+…+x2n+1+…=,则的值是______.

A.    B    C.    D. 

27.设a>0，极坐标方程，0，所表示的曲线大致是______

A.                     B.                        C.     

D.

28.设数列{an},{bn}满足bn= an−an−1,n=1,2,3…,如果a0=0，a1=1，且{bn}是公比为2的等比数列，又设Sn=a1+a2+…+an,则=__________.

A.0      B.       C.1      D.2

29.复平面上点zo=1+2i关于直线l：|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是_______.

A.−i     B.1−i    C.1+i    D.i

30.设实数r>1，如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是________.

A.焦距为4的椭圆     B.焦距为的椭圆     C.焦距为2的椭圆     D.焦距为的椭圆

31.给定一组向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3),如果存在不全为0的实数k1,k2,k3,使得k1a+k2b+k3c=0(0表示0向量)，则称向量组a，b，c是线性相关的，下面各组向量中，哪一组向量a,b,c是线性相关的？___________.

A.a=(1,2,1),b=(−1,3,2),c=(3,1,0)        B. a=(1,2,1), b =(−1,3,2), c =(0,1,−1)

C. a =(1,2,0), b =(−1,3,2), c =(0,1,−1)    D. a =(1,2,1), b =(−1,0,2), c =(0,1,−1)

32.设向量x=(coscos),y=,其中,如果|x|=|y|，则向量x和y的最大值是_________.

A.     B.      C.     D. 

2009年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校：上海交通大学

一、填空题吸每题5分．共50分)

1．第一位将欧儿里得的《几何原本》译成中文的中文的中国明代学者是       ；毕业于上海交通大学，在拓扑学和机器证明上作出突出贡献的是      .

2．某商店失窃，赵、钱、孙、李四人涉案被拘审．四人口供如下：赵说“孙是窃贼”；钱说“李是窃贼”；孙说“如果我作案，那么李是主犯”；李说“我没有偷”．已知四个口供中只有一个是假的，可以断定．说假话的是＿；作案者是          ·

3．在边长为80cm的正方形地砖上随机投掷一枚半径为10rm的圆盘，圆盘中心始终在地砖内，则圆盘压在地砖边上的概率是        .

    4．如图．用两个测算一圆柱形工件的内直径D,若半径为r1上端与孔口平面距离为H1, 半径为r2上端与孔口平面距离为H2,则D=     .

5．如果抛物线y=过A(−3,2)、B(5,2)两点,那么=           .  

6．从空间一点O发出4条射线OA、OB、OC、OD,其两两所成的角均相等,则这些角的大小是  .  

7．已知arctanx=arccosx,则x=     

8.设是公差d≠0的等差数列,从中选出部分项以原次序可以组成等比数列,若,则=     .

9．设x＋=2cosA，则=      .

10．函数y=的值域是      .

二、解答题(本大题共50分)

1．(本题10分)众所周知,指数函数恒大于0,且有如下性质：若实数，则；对任意

二实数，有，如果一个函数f(x)满足类似两个性质，即：若实数，则；对任意二实数，有，能否判断f(x)也恒大于0？说明你的理由．

2.(本题10分)已知|m|,n>0,求的最小值.

3.(本题10分)求有限集A=,其中为互不相等的正整数,使得=.

4.(本题10分)设n与k均为正整数,令=lk+2k+…+nk，已知=l+2+…+n=，

= l2+22+…+n2 =， = l3+23+…+n3 =，试观察上述各式右端的多项式的系数,说出其特点，进而求出.

5.(本题10分)下图是一个由9个小的九官格组成的9xg的方格．请运用已经显示的数字,确定每个空格中的数字,使之符合以下两个条件:

 (1)每一行和每一列中的9个数字必须是不一复的1到9; (2)每一个小九宫格中的9个数字必须是复的1到9;你填写的每一个数字都必须是依推理唯一确定的．

本题你只要填满任何4个小九宫格就算完成.

1 .(本题20分)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=1，BC=2，CD=3，DA=4.求四边形ABCD圆的半径.

2 .(本题20分)已知一个无穷正项等差数列中有三项分别是：13，25，41.证明：这个数列中有一项等于2009.

3 .(本题20分)是否存在实数x,使tanx+与cotx+为有理数？

4 .(本题20分)已知对任意x均有a cosx + b cos2x≥− 1，求a+b的最大值.

5.(本题20分) 在一次考试中333名学生共答对了1000道题.至多答对3题者为不及格,至少答对6题者为优秀.已知不是所有同学答对的个数的奇偶性都相同.成绩不及格者和和成绩优秀者人数哪个多?

2009年清华大学自主招生数学试题(理科)

1．设的整数部分为，小数部分为

求；求；求

2． 为实数，且，求证：对于任意正整数， 

为正实数，求证：，其中为的一种排列

3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论

4．已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于

求证：，，成等比数列

5．已知，设，求

6．随机挑选一个三位数

求含有因子5的概率；求中恰有两个数码相等的概率

7．四面体中，，， 

求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；设三个面与底面所成的角分别为，求证： 

8．证明当均为奇数时，曲线与轴的交点横坐标为无理数 

9．设均为整数，性质为： 对中任意个数，存在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等

求证：全部相等当且仅当具有性质