及答案解析
| 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） |
| 1.设集合，，则 |
| A. B. C. D. |
| 2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： |
| 则 |
| A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 |
| 3.若，则 |
| A. B. C. D. |
| 4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为，则该多面体的体积为 |
| A. B. C. D. |
| 5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是 |
| A. B. C. D. |
| 6.从分别写有，，，，，的张卡片中无放回随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的概率为 |
| A. B. C. D. |
| 7.函数在区间的图象大致为 |
| A. B. C. D. |
| 8.当时，函数取得最大值，则 |
| A. B. C. D. |
| 9.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则 |
B. 与平面所成的角为
C.
D. 与平面
| 所成的角为 | ||
| 10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则 | ||
| A. B. C. D. | ||
| 11.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点若，则的方程为 | ||
| A. B. C. D. | ||
| 12.已知，，，则 | ||
| A. B. C. D. | ||
| 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） | ||
| 13.己知向量，若，则 ． | ||
| 14.设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ． | ||
| 15.记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值 ． | ||
| 16.已知中，点在边上，当取得最小值时， ． | ||
| 三、解答题（本大题共7小题，共80.0分） | ||
| 17.甲、乙两城之间的长途客车均由和两家公司运营，为了了解这两家公途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的个班次，得到下面列联表： | ||
| 准点班次数 | 未准点班次数 | |
能否有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关
附：
| ， | |||
| ． |
| 证明：是等差数列； 若成等比数列，求的最小值． |
| 19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示：底面是边长为单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． 证明：平面 求该包装盒的容积不计包装盒材料的厚度． |
| 20.已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线． 若，求 求的取值范围． |
| 21.设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，． |
| 的方程； |
| 设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程． |
| 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数． |
| 写出的普通方程； |
| 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． |
| 23.已知，，均为正数，且，证明： |
| ； |
| 若，则． |
| 答案和解析 |
| 1.【答案】 |
| 【解析】【分析】 |
| 本题考查集合的交集运算，属于基础题． |
| 【解答】 |
| 解：直接通过交集的运算定义可得． |
| 2.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题主要考查统计图和平均数、中位数、标准差和极差的应用，考查读图能力、分析能力，属于基础题． 根据图中数据，逐一判断每个选项即可． |
| 【解答】 |
| 解：讲座前中位数为 ，所以 错； |
| 对； |
| 讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以错； |
| 讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以错 |
| 3.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题主要考查复数的模的运算以及共轭复数，复数的加减以及乘法运算，属于基础题． |
| 【解答】 |
| 解：由 ，故 ， ． |
| 4.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题． |
| 【解答】 |
| 解：由三视图还原几何体，如图， |
| 则该直四棱柱的体积． |
| 5.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查三角函数的平移变换，难度一般． |
| 【解答】 |
| 解：记为向左平移个单位后得到的曲线， 则， 由关于轴对称，可得：，， 故有， ， 所以的最小值为． |
| 6.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查古典概型的概率计算，属于基础题． |
| 【解答】 |
| 解：无放回随机抽取张方法有，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中数字之积为的倍数的是，，，，，，共种，． |
| 7.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查函数图象的辨别，是基础题． |
| 【解答】 |
| 解：令 ， |
| 则， |
| 所以为奇函数，排除； |
| 又当时，，所以，排除． |
| 8.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查导数的最值问题，属于中档题． |
| 【解答】 |
| 解：因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ． |
| 9.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题主要考查线面角的求解，属中档题． 作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可． |
| 【解答】 |
| 解：如图所示： |
| 不妨设，依题意及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得． |
| 对于，，，，A错误； |
| 对于，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误； |
| 对于，，，，C错误； |
| 对于，与平面所成角为，， 而，所以D正确． |
| 10.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可． |
| 【解答】 |
| 解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ， |
| 则，所以， |
| 又，则，所以， |
| 所以甲圆锥的高， |
| 乙圆锥的高， |
| 所以． |
| 11.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的方程，属于中档题． |
| 【解答】 |
| 由题意， ， ， ，所以 ， ， 又 ，即 ，代入 式解得 ， ， 所以 的方程为 ． |
| 12.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查指数对数变换比较大小，属于中档题． |
| 【解答】 |
| 解：由 ，可得 ． 根据 ， 的形式构造函数 ，则 ， 令 ，解得 ，由 知 ． 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ． |
| 13.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题． |
| 【解答】 |
| 解： ，解得 |
| 14.【答案】 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题主要考查圆的方程的知识，属于基础题． |
| 【解答】 |
| 设圆心 则 ， 解得 ． 从而得 的方程为 ． |
| 15.【答案】答案不唯一 |
| 【解析】 |
| 【分析】 |
| 本题考查双曲线的基本概念，属于基础题． |
| 【解答】 |
| 解：因为双曲线的渐近线方程为， 要使直线与无公共点，则只需要即可， 由得，所以， 解得 ． 故 的值可以取 ． |
| 16.【答案】或 |
| 【解析】 |
| 【分析】 | ||||
| 本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题． | ||||
| 【解答】 | ||||
| 解：设 ， | ||||
| 则在中，， | ||||
| 在中，， | ||||
| 所以 | ||||
| ， | ||||
| 当且仅当即时，等号成立， | ||||
| 所以当取最小值时，． | ||||
| 17.【答案】解：公司一共调查了辆车，其中有辆准点，得公司准点的概率， 公司一共调查了辆，其中有辆准点，则公司准点的概率． 由题意得列联表： | ||||
| 准点班次数 | 未准点班次数 | 合计 | ||
| 合计 |
| 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关 |
| 【解析】本题考查性检验的应用，频率与概率的关系，属于中档题． |
| 18.【答案】解：因为，即， |
| 当时，， |
| 得，， |
| 即， |
| 即，所以，且， |
| 为公差的等差数列． |
| 由可得，，， |
| 又，，成等比数列，所以， |
| 即，解得， |
| 所以，所以， |
| 所以，当或时． |
| 【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前项和最值问题． |
| 19.【答案】过点作于点，过点作于点，连接． 底面是边长为的正方形，、均为正三角形， 且它们所在的平面都与平面垂直， ， 又平面平面，平面平面， 平面，平面， ， 则四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面． 同理，过点，分别作，，交，于点，， 连接，，，，由及题意可知， ，分别为，的中点，为长方体， 故该包装盒可看成由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成． 由底面是边长为的正方形可得：， 由线面垂直可知四棱锥的高为， 所求该包装盒的容积为 ． |
| 【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质以及组合体的体积求法，属于中档题． |
| 20.【答案】解：，，且 故在点处的切线方程为 又与相切，将直线代入得 由得 ，曲线在点处的切线方程为 ，即 由得， 设在点处的切线方程为， 即， ． 令，则 当或时，，此时函数单调递减 当或时，，此时函数单调递增 又，，， ，故 |
| 【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题． |
| 21.【答案】解： 抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为， |
| 此时，所以， |
| 所以抛物线的方程为； |
| 设，直线， |
| 由可得，， |
| 由斜率公式可得，， |
| 直线，代入抛物线方程可得， |
| ，所以，同理可得， |
| 所以 |
| ， |
| 所以， |
| 若要使最大，则， |
| 设，则， |
| 当且仅当即时，等号成立， |
| 所以当最大时，，设直线， |
| 代入抛物线方程可得， |
| ，所以， |
| 所以直线． |
| 【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置及应用，属于难题． 利用抛物线的定义，求出，即可求的方程； 解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系． |
| 22.【答案】解：因为，，所以，即的普通方程为． |
| 因为，所以，即的普通方程为， |
| 由，即的普通方程为． |
| 联立，解得：或，即交点坐标为，； |
| 联立，解得：或，即交点坐标为，． |
| 【解析】本题考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，及联立方程求交点坐标问题，属于中档题． |
| 23.【答案】证明：由柯西不等式有， |
| 所以， |
| 当且仅当时，取等号， |
| 所以； |
| ， |
| 即，所以， |
| 由权方和不等式知， |
| 当且仅当，即，时取等号， |
| 所以． |
| 【解析】本题考查不等式的证明，柯西不等式与权方和不等式的应用，为中档题． |
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